Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
a u'v' имеет направление, противоположное uv и лежит на прямой, проходящей через С; значит, все точки U1 V1 C1 и', v't С лежат на одной прямой; к ней перпендикулярна прямая х'х; окружности (С) и (С) симметричны относительно х'х. Из соотношения (3) в этом случае следует, что точки т и т' симметричны относительно х'х. Медиатриса mm' совпадает с х'х; если, однако, окружности (С) и (С) пересекаются в точках А и B1 то в то время как точка т будет в A1 там же будет и точка т' и в качестве их медиатрисы можно рассматривать любую прямую, проходящую через А (а также и любую прямую, проходящую через В). Рассмотренный частный случай мы исключим из всего дальнейшего рассмотрения, т. е. будем считать, что uv не проходит через O1 т. е. что точки OhG различны. Назовем через (С") и т" окружность и точку, симметричную окружности (С) и точке т относительно х'х. Обозначим через H точку пересечения х'х
и uv. Тогда С"С' = 2HO1 и так как H—середина GO1 то 2HO = GO = CC'.
Отсюда следует, что перенос GO переводит окружность (С") в окружность (С).
При симметрии в х'х вектор Си переходит в вектор С "и" =—Cu1 но —Cu = Cu',
значит С"и" = Си'\ потому при переносе GO (— CC) точка и" перейдет в и'.
Далее, (CV, Cm') = (C7U", Cm") (mod 2-), а так как CV = Си" и
] С'т' I = I Cm" |, то и Cm' = Cm". Отсюда следует, что перенос GU точку т" переведет в т'. Итак, от окружности (С) можно перейти к (C)1 и при этом переходе точка т перейдет в соответствующую точку m't производя симметрию
в оси х'х и перенос GO (в любом порядке).
3°. Пусть р" — точка, симметричная р относительно х'х; перенос GO переводит ее в р', так что р"р' = GO; пусть р"' — образ р при переносе GO; тогда р'"р = GO. Из соотношения р"р' = р"'р и того, что р и р" симметричны относительно оси х'х, следует, что рр"р'р"г — прямоугольник. Значит А"1 есть произведение симметрии в оси х'х на перенос OG. Середина р' отрезка рр' лежит на х'х. Для того чтобы р и р' совпадали, необходимо, чтобы р лежала на оси Ох;
но если р лежит на оси х'х, то она переходит в другую точку р' (GO Ф 0); значит, преобразование А не имеет неподвижных точек. Прямая uv не играет роли в определении преобразования А среди прямых, перпендикулярных х'х. Тем не менее обозначим через Suv, S01 SGl SH симметрии в оси uv и относительно точек O1 G1 H Так как GO = 2GH1 то перенос T1 определяемый вектором GO1 можно представить в виде T = S11S0 (достаточно проверить для двух точек!), а симметрию S в оси х'х —в виде S == SuvSH = SHSuv (достаточно проверить для двух точек). Значит А = IT = SuvSHSHS0 = Suz)S0 (S2h = \}. С другой стороны, T=S0Sn и, значит, А = S0SHSHSuv= S0Siw. Пусть q — точка, симметричная р' относительно uv, a q'—образ q в преобразовании А. Так как Suv переводит q в р', то из А = S{izfS0 следует, что S0 = SuzfA (S2UV = l), а потому S0 переводит р в q (А переводит р в р', затем Snv точку р' переводит в q); значит, р и q симметричны относительно G. С другой стороны, из A = S0S^ следует S0 = ASuv; S точку р' переводит в q, а затем А переводит q в q'; значит, преобразование S0 точку q переводит в q', т. е. q и q' симметричны относительно О.
4°. Обозначим через р прообраз р' в преобразовании А. Если т — какая-нибудь точка (C)1 а т' — ее образ в преобразовании A1 то рт = р'т!'. Необходимое и
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 655
достаточное условие того, что медиатриса отрезка mm' проходит через р', имеет вид р'т = р'т' или рт = р'т; значит, точка т есть точка пересечения окружности (С) с медиатрисой отрезка рр'. Пусть, например, р' совпадает с О, тогда р совпадает с G, медиатриса OG есть uv; искомые точки и и v, а искомые прямые (D), проходящие через О, суть медиатрисы (U) и (V) отрезков ии' и vvr (впрочем, это и так ясно).
5°. Две прямые (D) могут быть параллельны тогда и только тогда, когда параллельны соответствующие им прямые mm'; но так как составляющая вектора mm' по оси х'х есть GO, то параллельность двух прямых (D) возможна
лишь в случае равенства соответствующих им векторов mm'. Но середина mm' лежит на оси х'х; следовательно, точки т, соответствующие параллельным между собою прямым (D), должны лежать на прямой, параллельной х'х. Но на прямых, проходящих через и и через V параллельно х'х, есть только по одной точке окружности (С); значит, прямая (D), отличная от (/У) и (V), пересекает обе эти прямые; обозначим точки пересечения соответственно через X' и р'; пусть X и jut — прообразы X' и р' в преобразовании А. Рассмотрим прямые (D), проходящие через X' [это (U) и Ур'\. На основании предыдущего медиатриса XX' проходит и через т и через и, т. е. эта медиатриса есть ти. Аналогично медиатриса рр' есть vm. Если X1 — середина XX', a ^1 — середина рр', то um совпадает с //X1, а vm — с vpx. Рассмотрим окружность с диаметром ик', которая проходит через О, ибо (U) ]_ Ou; она пройдет и через X1. Аналогично окружность с диаметром vp' проходит через О и (JL1. Значит (иО, ик') = (X1O, X1X') (mod tz), (рО, p'v) =-= (P1O, p\V) (mod л). Так как X1O и P1O совпадают с х'х, a X1X' и p{v совпадают с vm (vm _[_ um, um JL AX'), то (Ои, ик') = (р'О, p'v) (mod 71). Из этого соотношения следует, что углы (ОиУ) и (Op'v) или равны, или дополнительные. Но так как это острые углы прямоугольных треугольников (/_ иОк' = /_ vOp' = 90°), то они равны, а соответствующие треугольники иОк' и p'Ov подобны и одинаково
