Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
ЛЯ= а cos а — b sin а, a если \gа > у , то АН = # sin а — a cos а. Если tga = y
[т. е. (D) проходит через А], то ЛЯ = 0.
ЛЯ
4°. Вычисление а, для которого тги/- = 0 < А? < 1.
a) (Z)) пересекает 0л: между О и Л. В этом случае
a cos а — b sin а
----—
a cos а +b sin а
(D
а 1 — & „я
откуда tg а = -г 1 ¦ и есть лишь один угол alt такой, что Xg а{ < у- и
л tc
О < а, < у .
^ * ~ с'? sin а — а COS а _
б) (Z)) пересекает Ox вне Л. В этом случае -г—г—,-— = k. Это урав-
' v ' ^ J a cos а + b sin a Jr
я л tc
нение имеет лишь одно решение ol2 такое, что tg а2 > у и и < а2 < у , а именно: a l + k
Изучение пучка (BA', BA9 Z)1, Z)2). Обозначим через Af1 и M2 точки пересечения (D1) и (D2) с Ох. Тогда OW1 = OB tg (X1 = а , OW2 = OB tg а2 = а j—1|.
Значит OAfj • OM2 = а2, (Л', Л, Af„ Af2) — гармоническая четверка, так же как
рассматриваемый пучок [если а = Ь, то Л'-ВЛ = 90°, а ВЛ' и BA — биссектрисы углов между прямыми (D1) и (D2)].
Геометрическое решение. Пусть Af — точка пересечения (D) и Ох. Тогда MA АН и ал, и
ЖЛ7~~Л7Я7"= н0 еСТЬ две точки' Деляш.ие отрезок Л Л в отношении k\ одна из них лежит между А' и А (точнее между О и Л, ибо О < k < 1), другая — за Л.
97. 1°. а) Точки, общие (P) и (Д). Парабола (P) есть геометрическое место центров окружностей, проходящих через P и касающихся (D). Прямая (А) может быть рассматриваема как геометрическое место центров окружностей, проходящих через P и касающихся в этой точке P прямой PZ ± (А) [будем считать, что точка Z лежит на (D)]. Таким образом, точки пересечения параболы (P) с прямой (А) суть центры окружностей, касающихся (D) и касающихся PZ в точке Р. Таких окружностей две; для их построения на прямой (D) от точки Z отложим отрезки IHx = IH2 = ZP и в точках Hx и Я2 восставим перпендикуляры к (D); точки пересечения этих перпендикуляров с (А) и будут Af1 и Af2.
б) Свойство точки G. Точки P и G — центры гомотетии окружностей (Af1) и (Af2), и, значит, эти точки гармонически сопряжены с точками Af1 и Af2.
2°. а) Свойства окружности (С). Очевидно, /_ Af1ZM2 = 90°; значит, окружность с диаметром Af1Af2 проходит через Z, а так как к тому же AfZ ± (D), то она и касается (D).
б) Свойства окружности с диаметром FG. Эта окружность один из диаметров окружности (с) делит гармонически, а потому она ортогональна (С).
С другой стороны, пусть К—проекция P на (D); четверка точек ZZ11 H2, G, К гармоническая, и потому окружность с диаметром PG, которая проходит через К и делит гармонически диаметр HxH2 окружности (P), будет ортогональна (P).
Замечание. Центр со окружности с диаметром FG имеет по отношению
/ pq \2
к окружностям (С) и (P) степень, равную I —g— 1 , и, значит, со лежит на радикальной оси окружностей (С) и (P). Эта радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей (с) и (P) и, значит, параллельна (D), а так как со — середина PG, то радикальная ось (с) и (P) проходит через середину S отрезка Р/(. Таким образом, радикальная ось (P) и (С) есть касательная к параболе (P) в ее вершине 5.
652 Ответы. Планиметрия. Гл. XX КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
в) Степень точки S относительно (С). Так как точка S лежит на радикальной оси окружностей (С) и (F), то ее степень относительно (С) равна ее степени
относительно (F), т. е. IS2—IF2 = (KS2 -f KI2)— (KF2 -f KI2) = KS2—KF2 = -~~р2
(р — параметр параболы).
3°. а) Фиксированная окружность, которой касается (С). Окружность (С)
на основании предыдущего инвариантна в инверсии ^S, — /?2j. Но окружность (С) касается фиксированной прямой (D); значит, она же касается фиксированной окружности (D'), полученной из (D) инверсией ^S, —"4^2J' (^') —эт0 окружность, проходящая через S, а точка, диаметрально противоположная S на (D'), есть точка К', полученная из К указанной инверсией ^SK' = ^p-]; эта точка К симметрична точке К относительно F. Точка касания есть образ F точки / в той же инверсии.
б) Геометрическое место точек M9 Пусть 9. и г — центр и радиус окружности (D'). Окружность с центром М, которая проходит через H1 имеет радиус, равный MI — г, и, значит, она касается прямой (D1), параллельной (D) и отстоящей от (D) на расстоянии г [по ту же сторону от (D), где лежит F]. Значит точка M расположена на параболе с фокусом У и директрисой (D1). Так как / описывает (D) в целом, то M описывает эту параболу в целом. Так как
SK' 3/? ос
г = —^— = ~-, то прямая (D1) — медиатриса отрезка SF.
98. Г. Огибающая поляр (D) точки M относительно (О). Основание псляры (D) точки M относительно окружности (О) есть точка H прямой ОМ, определяемая условием OM • OtI = R2. Значит, точка H есть образ M в инверсии (О, R2). Геометрическое место точек H есть, следовательно, образ окружности (С) в инверсии (О, R2). Если р ф R, то окружность (С) не проходит через полюс инверсии; ее образ в инверсии (О, R2) есть окружность (С). Прямая (D), будучи перпендикулярна ОН в точке Н, будет иметь огибающей линию второго порядка (F) с фокусом О, для которой (C') — главная окружность. Пусть а и р-точки, в которых окружность (С) пересекает прямую ОА/а' и ?'— образы точек а и ? в инверсии (О, R2). Точки а и а' расположены по одну сторону от точки О; то же и относительно точек ? и ?'. Отсюда следует, что если окружность (С) не окружает точку О (о < R), то (С) также не окружает О и, значит, (F) — гипербола. Если (С) окружает О (р > R), то и (С) окружает О и (F) — эллипс. Если р — Rf то окружность (С) проходит через полюс инверсии; ее образ в инверсии (О, R2) есть прямая (медиатриса OA). Огибающая (D) в этом случае — парабола с фокусом О, для которой медиатриса отрезка OA будет касательной к вершине; директриса этой параболы есть прямая (А), перпендикулярная OA в точке А. Если р Ф R, то основание директрисы, соответствующей фокусу О, гармонически сопряжено с О относительно а' и ?'. Но точка А, середина a?, гармонически сопряжена с бесконечно удаленной точкой OA относительно а и ?, а значит в силу сохранения гармонизма при инверсии точка О (образ бесконечно удаленной точки) гармонически сопряжена с точкой А (образ точки А совпадает с ней самой) относительно а' и ?'. Значит основание директрисы, соответствующей фокусу О, есть А, а значит сама директриса есть перпендикуляр (А) к OA в точке А; прямая (А) есть касательная к (О) в точке (A) [выше мы видели, что если р — R, то (F) — парабола, а эта прямая (А) является ее директрисой]. Для вычисления эксцентриситета (F) достаточно подсчитать отношение расстояний одной из точки линии (F) до точки О и до прямой (А). Возьмем точку 3', которая является вершиной (F). Пусть S — точка, в которой пересекает окружность (С) продолжение прямой OA за точку А. Точка ?' расположена между О и А и, значит,
