Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
100. Г. Геометрическое место точек Н. Основание H поляры точки А относительно окружности (со) определяется на прямой соЛ следующим соотношением, в котором р есть радиус (со): соЛ • со// = р2; но р = — ыА, поэтому
соЛ • со Л = X °>А2 и, следовательно, со// — — соА Отсюда следует, что точка //
из точки о) получается гомотетией I А, -г- j, а геометрическое место точек H
из геометрического места точек со получается указанной гомотетией. Это, следовательно, полуокружность, построенная на AE как на диаметре, где AE = — AB, 3
AE = ~г R. Пусть С — центр окружности, построенной на AE как на диаметре,
а (С) — сама эта окружность.
Свойства окружностей (со). Точки А и И делят гармонически тот диаметр a? окружности (С), который лежит на прямой соА Значит (С) и (со) ортогональны. Итак, все окружности (со) ортогональны окружности (С).
2°. Изучение двух пересекающихся окружностей (со). Пусть (Co1) и (со2) — две окружности семейства (со), пересекающиеся в точках M и N. Так как окружность (С) ортогональна каждой из них, то ее центр С имеет одинаковую степень относительно обеих этих окружностей, равную квадрату радиуса (С); значив,
центр С лежит на радикальной оси MN окружностей (Co1) и (со2) и CM - CN = CA2, отсюда следует, что окружность (MNA) касается CA в точке А. Прямая MN есть перпендикуляр, опущенный из точки С на прямую CO1O)2. Если со2 стремится к CO1, то прямая Co1(O2 стремится к касательной, проведенной к полуокружности (Г) в точке Co1, а прямая AJTV стремится к перпендикуляру, опущенному из С на эту касательную. Точки т и п, в которых перпендикуляр, опущенный из С на касательную к (Г) в точке Co1, пересекает ((O1), будут предельными положениями точек M и N. Окружность (Атп), являющаяся предельным положением окружности (AMN), так же, как и эта последняя, касается CA в точке А\ ее центр І1
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
657
расположен одновременно на касательной в точке А к (P) — на медиатрисе тпт которая является касательной к (P) в точке (со,). Длины UA и Uux равны (как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной и той же точки), и, значит, окружность (Лтп) с центром Q, проходящая через Л, пройдет и через a>lt Точка O)1, расположенная на медиатрисе хорды тп окружности (Лтп), есть
середина дуги тп этой окружности, поэтому A^x— биссектриса угла тАп.
3°. Преобразование конфигурации инверсий (Л, 4І?2). В инверсии (A, 4P2) окружность (С) перейдет в прямую (C'), перпендикулярную AB в точке Ег такой,
_ _ ? gy^
чго AE- AE' = 4P2. Так как AE = R, то AE'=-^-. Всякая окружность (со),
будучи ортогональной к (С), перейдет в окружность (/), ортогональную прямой (С), иначе говоря, в окружность с центром на этой прямой. Центр / этой окружности есть точка, в которой прямая, Лео пересекает (С); в то время как со описывает полуокружность (Г), эта точка / опишет полупрямую E'у, лежащую на прямой (С). Пусть (CO1) — одна из окружностей (о>). Ее центр со,, будучи расположен на (F), перейдет при инверсии в точку OJ1, расположенную на образе (F) в инверсии (Л, 4P2), т. е. на полупрямой Bz, лежащей на касательной к (F) в точке В. Окружность (Атп) касается AB в точке Л, поэтому она перейдет в прямую, параллельную AB и проходящую через Co1. Точки тип перейдут в точки р и q, в которых Am и An пересекают эту прямую. Образ (/,) окружности (Co1) проходит через эти точки р и q, и центр Z1 окружности (Z1) есть точка, в которой прямая JIcO1 пересекает Е'у. Так как Co1 есть основание биссектрисы угла Л треугольника pAq,
рА qA w , . . ^04 4P2
то J——r = а так как р из гп получается инверсией (Л, 4P2), то Ap =-.
/7O)1 ^CO1 Am
С другой стороны, так как р и Co1 — образы т и о> в инверсии (Л, 4P2), то 4P2
0) р =z—----со./к. Отсюда и из предыдущего соотношения находим
1 Лої • Am
Л?-= J^L9 Но по условию Лео! = 2Co1W1, поэтому -^4~=2. Аналогично
O)1*/ o^m /7CO1
q 4
-—- = 2. Таким образом, отношения расстоянии от точек р и q до точек А
(7Co1
и coj равно 2 при любом выборе окружности (Co1). Но так как расстояния от точек р и q до точки coj являются расстояниями от этих точек до прямой (Д), то точки р и q лежат на гиперболе с фокусом Л, директрисой (А), соответствующей этому фокусу, и эксцентриситетом 2. Если CO1 изменяется, то CO1 описывает луч Bz, а каждая из точек р и q—верхнюю часть ветви указанной гиперболы.
4°. Взаимное расположение (Z1) и (Я). Так как точки Л и Co1 гармонически сопряжены с границами диаметра a'?' окружности (Z1), окружность (Лео!/?) ортогональна (Z1); ее центр расположен поэтому на касательной в точке р к (Z1), и если T — точка, в которой эта касательная пересекает (А), то одним из диаметров окружности (Ао^р") является рТ. Отсюда следует, что /_рАТ = §0°. Но (А) — директриса, соответствующая фокусу Л гиперболы (Я); значит, рT—касательная к гиперболе (H) в точке р. Аналогично доказывается, что касательная к (Z1) в точке q есть и касательная в точке q к гиперболе (Я). Впрочем, это следует и из того, что точки р и q симметричны относительно Е'у, которая является мнимой осью гиперболы (Я).
