Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
M AM А§ AM А-( А$ ла ла,
~ж-~аж и AT=w откуда ж=W; следовательно> лр-лр =
= А*; • AY', а так как S и ?' также 7 и 7' расположены но одну сторону от точки A1 то ^4? • А$' = А'( • AY- Из этого соотношения следует, что точки ?,-?', 7, 7' расположены на одной окружности. Центр этой окружности есть пересечение медиа-трис отрезков ??' и 77', т. е. середина со отрезка MM''. Аналогично установим, что точки ?, ?', а, а' расположены на одной окружности, центром которой является та же точка со. Таким образом, точки а, ?, 7, а'', ?', 7' расположены на одной окружности, центр со которой совпадает с серединой со отрезка ММ. Из подобия
7АГ AM ?Al AM треугольников, рассмотренных выше, также находим jrj^r = ддд' и "^?7" = ~АМ''
откуда |т^7 = YW ' или ^' ^ ^ " ^' и аналогично ?Af • ?'AT = аМ • a'Af. Объединяя эти равенства, получим аМ • a'M' = ?Af • ?'Al' = 7Al • 7'АГ, а так как точки M и AT лежат обе внутри треугольника ABC1 то аМ • а'Al' = ?Af • ?'Al' =
б) Случай, когда точка Af совпадает с ортоцентром H треугольника ABC.
Известно, что во всяком треугольнике высота, выходящая из его вершины, и диаметр описанной окружности, выходящий из той же вершины, являются изого-налями сторон, выходящих из рассматриваемой вершины. Отсюда следует, что если точка Af совпадает с точкой H1 то точка M' совпадает с центром О окружности (F)1 описанной вокруг треугольника ABC С другой стороны, точки, симметричные точке H относительно сторон BC1 CA и AB треугольника ABC1 лежат на окружности (F)1 описанной вокруг этого треугольника. Отсюда следует, что эти три стороны касаются эллипса (E)1 одним из фокусов которого является точка H1 а окружность (F) — направляющая окружность, относящаяся к другому фокусу.
Главная окружность этого эллипса получается из окружности (F) гомотетией ^H1 ;
эта окружность проходит через основания а, ?, 7 высот треугольника ABC и потому является окружностью Эйлера треугольника ABC; центр этой окружности (со) — середина со отрезка ОН.
в) Линия второго порядка, касающаяся сторон треугольника AlBrC. Пусть А' — какая-нибудь точка окружности (F), В' и С — точки, в которых касательные, проведенные из А' к (E)1 вторично пересекают (F). Точке О — центру окружности (F)1 описанной вокруг треугольника А'В'С, соответствует как обратная по отношению к этому треугольнику А'В'С его ортоцентр H'. Точки, симметричные точке H' относительно сторон треугольника А'В'С, расположены на окружности (F)1 и, значит, его стороны касаются эллипса (E'), для которого H' — один из фокусов, a (F) — направляющая окружность, соответствующая другому фокусу. Точки, симметричные фокусу H' эллипса (E') относительно касательных А'В' и А'С к этому эллипсу, расположены на (Г); точка Я', общая точка двух окружностей (Fx) и (F2), симметричных (F) относительно А'В' и А'С. Но прямые А'В' и А'С по предположению касаются эллипса (E)1 поэтому точки, симметричные фокусу Я эллипса (E) относительно этих двух прямых, лежат на окружности (F); таким образом, точка Я принадлежит также окружностям (Fx) и (F2). Но эти две окружности, помимо точки A'f имеют еще только одну общую точку; значит, точки H' и Я совпадают. Окончательно: эллипс (E') совпадает с эллипсом (E); вторым
648 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
фокусом эллипса (E') является точка //, а его главной окружностью является окружность Эйлера — треугольника ЛВС.
94. Г. Касательные, проведенные из F к (С). Пусть 5 —точка прикосновения
IS
касательной, проведенной из F к (С); положим ISF = 6, тогда sin 6 — -— =
IF
~ W ~~^~~с' ^асательные из o к (С). Обозначим через D точку, в кото-
« . inf. т ,,IT ID Da OA а
рои ао касается (С ). Тогда sin 8' == — = — — = значит, касатель-
ные из О к (С) фиксированы (заметим, что 6' = 6). Хорды, высекаемые (С) на прямых ОТ и ОТ'. Прямые ОТ, ОТ' и а5 равноудалены от центра / окружности (С) и потому высекают из нее хорды, равные a? = 2а.
2°. Вычисление Ol, HI9 HK. Из прямоугольного треугольника OTI находим Ol- ОН = ОТ2 = (—-Tr7- =¦ tih, следовательно, OI =—^177 =—^їїт.Таккак
\ COS t) ) COS2U" COS2U7 COS2O
точки I w Ii расположены всегда по одну сторону от х'х, то 01 =
cos2 О'
- а
Но cos2 О' = ——— ; значит, 01= -Tg—ту У' Из Н/ ~ 01 ~ 0Н нах°Дим (ОН = у):
___ а2
HI= ~~2--T2-)'- Наконец, треугольники IHK и IOF гомотетичны; следовательно,
HK TlT a2v c2v a2 T77V а2
'= -zr=r = — —— :--— = -— , откуда HK = —.
OF OI с2 —а2 с2 —а2 с2 с
Вычисление г, R и HM. Из прямоугольного треугольника ITO находим г = IT = IO sin Ь' = — IO = °2 1 У . Зная, что ТЕ = а, найдем R (R2 = IT2 + ТЕ2):
с
R = a}/~ 1 +
треугольника IHM находим
(с2 — а2)2'
HM2 = IM2 - IH2 = R2- - - ,- 2Т2
(с2 — а2)2
Геометрическое место точек К. Абсцисса этой точки постоянна ^ = —j;
а2
значит, точка К лежит на прямой (А), уравнение которой х =--. Точка К есть,
