Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
ориентированы, отсюда = и, значит, Ok' • Op' = Ou • Ov. Назовем далее
через Х'ОХ биссектрису угла, на сторонах которого лежат векторы Ou и Ov; эта
прямая Х'ОХ фиксирована, и мы имеем (OX, Ou) -f- (OX, Ov) = О (mod 2я). Но
так как (Ои, Ok') -\- (Qv, Op') = О (mod 2т), то, складывая, получим
(OX, Ok') + (OX, Op') = О (mod2ru), откуда и следует, что Х'ОХ—также биссектриса угла, образованного полупрямыми, выходящими из точки О, на которых
лежат векторы Ok' и Op'.
6°. Отложим на Х'ОХ от точки О векторы OF и OF' в противоположных направлениях и таких, что OF = OF' = YOu ¦ Ov. Точки FuF' фиксированы. Пусть Y'OY—медиатриса отрезка FF'. Обозначим через р" точку, симметричную точке р' относительно Y'OY; полупрямые Ok' и Op" имеют прямопротивоположное направление, а потому Ok' • Op" = OX' . Op' =~OF2; точнее: OX' • Op" = — OF2 = = OF • OF'; отсюда следует, что точки У, р", F, F' лежат на одной окружности; Y'OY— ось симметрии этой окружности; эта окружность проходит и через р'; точки X' и р' расположены по разные стороны от FF' (ибо FF' — биссектриса УOp'). Обратно: если X0—точка (U), р'0 — точка (V) и если X0 и р'0 лежат по разные стороны от прямой FF' и точки F, F', X0, р'0 лежат на одной окружности, то X0[x0 — прямая (D); в самом деле, через точку X^ проходят две прямые (D); одна из них есть (?/). Пусть другая пересекает (V) в точке p'Q\ Окружность (FF'k'^, по условию, проходит через jjlq, лежащую на прямой (V) и по другую сторону от FF' по отношению к точке Xq. Ho Ор'0 пересекает эту окружность также в точке pQf. значит Pq совпадает с p'Q' и к'0р0 есть прямая (D).
Т. Огибающая будет гипербола с асимптотами (U) и (V) и фокусами F' и F; это следует из соотношения OX' • Op' = Ou ¦ Ov = OF2. Вершины этой гиперболы — проекции на Х'ОХ точек пересечения окружности, построенной на F'F как на диаметре с асимптотами (U) и (V).
Часть вторая. Г. Существуют две касательные к гиперболе (H), проходящие через точку а'. Пусть Ъ' и с' — точки, в которых эти касательные вторично пересекают окружность (с). Построение прямых а'Ь' и а'с', на основании I, 4°, таково: это прямые (D), проходящие через точку а'. Пусть а — прообраз а' в преобразовании А и пусть медиатриса отрезка аа' пересекает (С) в точках ? и у- Преобразование А переводит точки ? и y в ?' и y'» лежащие на
656 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
окружности (C'); прямая а'с' — медиатриса отрезка ??', а прямая а'Ь' — медиатриса отрезка 77'. Пусть далее и Y1 — середины ??' и 77', ах—середина аа' (?b 7, и ах лежат на х'х). Точки ах и 7,—вершины прямых углов а'а^ и 0?], стороны которых проходят через а' и Y- Эти точки лежат, следовательно, на окружности с диаметром а'-{. Поэтому прямые я'7 и ах-(х (или х'х) одинаково наклонены к прямым O1Y1 и ахщ;. Иначе говоря: прямые #'7 и х'х одинаково наклонены к а'Ь' (которая является медиатрисой а'чх отрезка 77') и к ?Y- Но а', Ь', ?, 7 лежат на окружности (С). Поэтому а'у и cV? одинаково наклонены к а'Ь' и fa. Сравнение этих результатов позволяет утверждать, что Ь'$Цх'х', таким образом, точки Ь' и ?, лежащие на окружности (С), симметричны относительно uv. Если мы заметим, что ах и ?, лежат на окружности с диаметром #'?, то аналогично будет доказано, что точки с' и Y окружности (С) симметричны относительно UV.
2°. Добавим к предыдущим построениям точку а, симметричную а относительно uv, и ее образ а' в преобразовании А. На основании первой части пункта 3° заключаем, что а и а'— также симметричны относительно uv (точка р' теперь обозначена через а', точка q — через а, р — через а). Итак, точки а и а' симметричны относительно uv так же, как и точки а' и а. Медиатриса отрезка аа' симметрична поэтому медиатрисе отрезка аа', а так как последняя есть ?y, то медиатриса отрезка аа' есть Ь'с' (b'{i || ус' || х'х). Но так как а лежит на окружности (С), то Ь'с' есть прямая (D) и, значит, касается гиперболы (H). Таким образом, стороны треугольника а'Ь'с', вписанного в окружность (С), касаются гиперболы (H). Так как точка а' может перемещаться по окружности (С), то таких треугольников [вписанных в (С), стороны которых касаются (H)], бесконечное множество.
3°. Из первой части п. 3°, следовало, что р' и q' симметричны относительно О. Принимаем за точку р' точку а'; тогда q' будет а'; следовательно, а' и а' симметричны относительно О. Принимая за точку р' точку b', затем с', докажем, что Ь' и ?' симметричны относительно О и что с' и у' симметричны относительно О. Значит Д а'Ь'с' симметричен треугольнику a'?'y' относительно О [первый треугольник вписан в окружность (С), второй — в окружность (C')]. Далее 77' ± а'Ь', но в силу указанной симметрии a'cVjja'?', значит, 77' — высота треугольника a'?Y; аналогично аа', ??' — две другие высоты; они, следовательно, пересекаются в некоторой точке с; точка ср есть ортоцентр треугольника a'?'7'. Наконец, середины Gt1, ?i и 7! отрезков aa', ??', 77' являются проекциями точки ср на стороны Ь'с', с'а' и а'Ь' треугольника а'Ь'с', вписанного в окружность (С), и так как эти точки а,, ?j и 7і лежат на одной прямой (прямая Симпсона), то точка ср лежит на окружности (С); точка ср', симметричная точке ср относительно О, лежит на окружности (С) и является ортоцентром треугольника а'Ь'с'.
