Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Случай I. M лежит на окружности (F). В этом случае точка Af1 совпадает с Al, IxS'H= /_ MS'Н; значит, S'M биссектриса угла IXS'H. Прямоугольные треугольники AlSV1 и MS'H равны и, значит, MH= MIx. Отсюда следует, что окружность (C1) касается (А) в точке ZZ. Значит окружности (7) и (С) также касаются в точке К, в которой прямая HS пересекает (7). Эта точка ZC есть единственное положение фокуса F, удовлетворяющее условию задачи; имеется, следовательно, только один эллипс (E), проходящий через точку М.
650 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Случай II. Точка M внутри (Г). Предположим, что в соответствии с обозначениями, принятыми при рассмотрении первого случая, точка M передвинется но прямой SI к точке S; точка M1, первоначально совпадавшая с М, передвинется в противоположном направлении; радиус M1I1 окружности (Ci) увеличится, а так как точка M1 приблизится к /, то она приблизится и к (А). Отсюда следует, что если точка M лежит внутри (F), образы (А) и (C1) окружностей (?) и (С) будут иметь общие точки; значит, и окружности (?) и (С) будут пересекаться в двух точках. В этом случае имеется, следовательно, два эллипса (E), проходящих через точку М.
Замечание. Если точка M лежит на отрезке Si, но вне (Г), то, рассуждая аналогично, убедимся в том, что нет ни одного эллипса (E), проходящего через точку М.
3°. Две группы эллипсов (E). Если точка M расположена на (Г) и описывает часть (Г), расположенную между (5) и (А), ее проекция Я на (А) описывает отрезок Н'Н" этой прямой, являющейся проекцией на (А) окружности (Г). Точка К описывает, следовательно, на (¦/) ее половину К'К", расположенную по отношению к медиатрисе .S.S' с той же стороны, что и S'. Соответствующий фокус F эллипса (E) описывает эту дугу K'S'K" окружности (у); этот эллипс имеет с окружностью (F) общую точку M и ей симметричную относительно (ь). Если же фокус F расположен на дуге К'SK" окружности (F), то точке F не будет соответствовать ни одна точка M окружности (F), соответствующий эллипс (E) не будет иметь с окружностью (F) ни одной общей точки (фокус эллипса, проходящего через любую точку окружности (Г), лежит на дуге K'S'K"). Для данного положения точки F на (у)
SE 1
эксцентриситет эллипса (E) равен е = -^- ; он имеет значение, равное ~у-=^» если
точка F совпадает с К! или с К"; —f=- < е <\, если F лежит на дуге K'S'K",
Y 2
иначе — если эллипс (E) принадлежит первой группе; 0 < е < _ , если точка F
лежит на дуге К'SK", иначе — если эллипс (E) принадлежит второй группе.
4°. Эллипсы первой группы, проходящие через данную точку М. Пусть M—данная точка, лежащая внутри (F), M' — ей симметричная относительно (ь); D и Я—-точки, в которых прямая MM' пересекает (ь) и (A), a M0 и Mq-точки, в которых прямая MM' пересекает (F). Фокусы F эллипсов (E), проходящих через точку M (следовательно, и через M'), должны лежать на окружности (у) и на окружности (CJ, являющейся геометрическим местом фокусов F эллипсов с директрисой (А); эти эллипсы проходят через точки M и M'. Эта окружность (С) имеет концами одного из своих диаметров точку Я и точку H', гармонически ей сопряженную относительно M и M'. Если точка M совпадает с M0, то мы уже видели, что ей соответствует (2°, случай /) только один фокус F эллипса (E), лежащий на окружности (у); соответствующую окружность (С) обозначим через (C0) — она касается (А) и (у) и ее центр находится правее середины DH (ближе к Я), ибо точка F0 касания (C0) и (у) лежит на дуге K'S'K". Если точка M расположена между D и M0, точка H', гармонически сопряженная точке H относительно M и M', расположена между D и Я0. В самом деле, DH- DH' = DM2 и DH- DH'Q = ?Ш0, откуда в силу DM < DM0 находим DHf < DHq. Окружность (С) окружает, следовательно, окружность (C0); она пересекает поэтому окружность (у) в двух точках по одну и по другую сторону от F0. Одна из этих точек расположена на дуге F0S'; соответствующий эллипс принадлежит поэтому первой группе. Таким образом, через каждую точку, лежащую внутри окружности (F), проходит по крайней мере один эллипс первой группы.
96. 1°. Геометрическое место точек Л Я и Я'. Геометрическое место точек / есть окружность с диаметром ОБ; геометрические места точек Я и H' — окружности (H) и (H') с диаметрами AB и А'В.
2°. Д OHH' остается подобным фиксированному треугольнику. Обозначим через to и со' центры окружностей (H) и (H'). Точки Я, H' и В лежат на одной прямой; следовательно, поворот вокруг точки О, при котором окружность (H) совпадает с (H'), переведет точку Я в точку H'. Отсюда следует, что д OHH' ~ Д Осо со'.
Геометрическое место точек пересечения медиан треугольника ОНН\
—*¦ 2 —>
Hl = IH'у OG = -^01 (G — точка пересечения медиан треугольника OHH'); значит, геометрическое место точек G есть окружность, полученная из окружности (/)
гомотетией
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 651
3°. Вычисление ан и а'н'. Обозначим через z'Oz ось, проходящую через точку О, положительное направление которой дается вектором 01. Через АН и А'Н' обозначим алгебраические проекции векторов АН и А'Н' на эту ось. Проектируя равенства AH= аЬ + ОВ + ВН и A7H' = X7O + OB+ BH' на ось z'z, получим: АН = — a cos а + b sin а, Л'Я' = а cos а -f- & sin а. В силу условий задачи, Л'Я' > 0; значит, АН = | — a cos а + b sin а |, Л 'Я' = а cos а + b sin а. Если tg а < у , то
