Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 320

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 314 315 316 317 318 319 < 320 > 321 322 323 324 325 326 .. 381 >> Следующая


Раздел II. Стереометрия Fлава XXIF Задачи на вычисление § 1. Прямые и плоскости в пространстве

у (а — Ъ ±Va2 — 6ab-\-b2). 2. 15г и 75°. 3. 60°. 4. . 5. SO0. 6. ]/"—т^*

2

7. Или а(у""3 + 1), или а(У~Ъ--\). 8. TV (yr3± \)Vb2~ а2. 9. Ya2 + b2 + с2 + с

2

42 П. С. Моденов

10. 3. 11. 90°. 12. 30°, 60°, 120°, 60°.

Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

Черт. 229. (К задаче № 12, гл. XXI)

Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ 659

a2 Y Z

§ 2. Треугольная пирамида « 2. б, 10, R 3. 4. 576 с*е. 5. О- (l + ]/"U2^+*)),

' ' ' ' ' ' а+і

Y 3 /fe2 — 1 7 (/W1 + /I1) (m2 + /22) (;я3 + /I3) — тхт2тъ тс3 ' ' тхт2тъ

8. jc:y:^. 9. 6.

Черт. 230.

2T7TI 36

10. 49 а2. 11. 3. 12. 4s1 + (S2 + 5з + S4). 13» 15' В сечении прямоугольник со сторонами ~(я+26)^2); периметр 2а, площадь ~ (а2 — 8Ь2).

16. ^Y (т-a2) (т-Ь2)(т-с2), где т = ± (а2 + b2 + с2). 17. -^L. 18. a) -is;

1 25 9 1 1 0

б) -5; в) -gg-s. 19. а) s; б) s или s; в) jg-s или s. 20. 16. 21. ~ v.

22. 1°. Аа=2+-^ (см. черт. 230 и 231); тре-

угольник ABC — прямоугольный, равнобедренный. 3°. Объем пирамиды аВЬсС равен б |Аз CW3; объем пирамиды aABc

Черт. 232.

Черт. 233.

равен ^ ^ ^ см3. 4°. Расстояние от а до плоскости ABC равно ^L. . 23. 1°. а-

= Yb2 + c2 — bc (черт. 232), S =

Ьс /3

2°. 10л2 = ?2 + с2 — (черт. 233) (I)

и 2а2 + bc = a (Ь + с) (2). 3°. 10а2 = S2 — ЗР, 2a2 = aS — P, S2 — SaS — 4а2 = 0, отсюда S = 4а, P = 2а2; значения b и с при условии, что /_ВАС = 90° и = аУіО;

? = ^(2 + /2), с = л(2 —У"2). 4°. s = -^-(3/3+ 7).

§ 3. Многоугольные пирамиды

I. 2. _16feT____ 3. 1920 смК 4. 5. 3:5. 6. * . 7. .

З 3 (Я2 — b2) Y Ы2 — h2 4 24

9. -|s. 10. а) 4 s; б) 4| s или ~s. 11. ~. 12. -?- и . 13. 126. 14.

16

16

12

a2h 8. -б-

Si+ S2

42*

2

660

Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

15.

-^(2+/3)/4*»

б)

25 16

20. ~ Dd.

оо

3q2. 16. dl

s. 17.

21. а)

б)

dl_ З

в)

4

33 12

18. -V- ab

4

26

ab. 19. а) ~r 5;

dl\ r)

96 dL

1. 17 346. 2. 5:3:3:1. 3. ab (V2 + 1). 5,

§ 4. Призмы

3

7. a) ~a*; б)



12

11

8. 32(6 +У 6). 9. 12. 10. -~а2} 2. 11. 2 ] 2ля. 12. 9. 13. 51 и 75. 14. ~s. 15. 4о"

о 4 1z

о 9 !^"9 IQ 97 1

16. jv. 17. -^y^^2. 18. a) 3. б) 1. 19. -~ s. 20. s. 21. 3. 22. a) ~ Dd;

23

11

6) +- Dd; в) ^ Dc/; r) Dc/; д) - Dc/. 23. -f^ і/. 24. а) — я3; 6) о о oz 4 Io j 3

AaK

§ 5. Куб

-^-. 2. . 3. Приблизительно 70 °0, 4. сг2. 5. Плоскость, проходящая через

концы ребер, выходящих из одной и той же вершины куба, перпендикулярна его диагонали, выходящей из той же вершины, и дели г ее в отношении 1:2; отсюда, между прочим, следует, что указанная в условии задачи Плоскость пересекает грани куба по прямым, параллельным соответствующим диагоналям граней — это

' I /XX\\\\Y\>

Черт. 235.

дает возможность точно построить данное сечение куба, наметив сечение AB, скажем верхней его грани (черт. 234); в сечении получается равноугольный шестиугольник (все углы 120°), противоположные стороны которого параллельны; длины

меньших сторон ту а \ -5—-— (а2 — Ab2). 6, Y^=*- 7. 1 : 1. 8. Плоскость должна проходить через диагональ и середину любого скрещивающегося с ней ребра. 9, v. 10. -j-. 11. *

2 — b /б, длины больших сторон т~ а / 2 + * /б; площадь

12.

-Ц-^-я/2. 13.

7 14 1 48 ¦ 14' 9 ИЛИ

169

16

3 '

1125 '

15. Г. Сечения куба плоскостями (П). Пусть D—вершина куба, противоположная точке О. Рассмотрим куб с ребрами OL, ОМ, ОМ; он гомотетичен данному кубу по отношению к О; OD несет на себе диагональ этого куба, которая перпендикулярна плоскости LMN; эта последняя пересекает куб, если точка H пересечения плоскости LMN с OD лежит на отрезке OD. Находим ОН=-^-~: отсюда:

уз

Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

661

плоскость LMN пересекает куб, если 0 < -?=- < аУ3 или О < х < За; если

У з

О < X <; а, сечение — равносторонний треугольник LMN; если а < х < 2а (это случай L1M1N1 — на черт. 235), то сечение — шестиугольник PQRSTU; наконец, если

2а <; X < За, сечение снова — равносторонний треугольник.

2°. Периметр сечения. Если 0<х<а, р = ЗхУ~2; если а < х <2а, сечение — шестиугольник PQRSTU. Треугольник QM1R равно-


Z
За7УЗ




a2V3 2
/і ! l\
у 1 1 1 \
I I I ^
I I I


I
0
а За Za 2
За x

Черт. 237.

сторонний, значит, QR = RM1; значит, QR + RS = SM1 = а \Г2, значит, периметр в этом случае равен За}г2. Наконец, если 2а^х<3а, р = 3(3а— х)У2. График р = р (х) изображен на черт. 236 — равнобочная трапеция.

X2 Уз

3°. Площадь сечения. Если 0 < х < a, s = —^-• Если а < х <2а,

s = jqfl _ з пл. QM1R = (-2л- + бах - За2) Ц-= - /3 (х - ^)2 ;
Предыдущая << 1 .. 314 315 316 317 318 319 < 320 > 321 322 323 324 325 326 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed