Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Раздел II. Стереометрия Fлава XXIF Задачи на вычисление § 1. Прямые и плоскости в пространстве
у (а — Ъ ±Va2 — 6ab-\-b2). 2. 15г и 75°. 3. 60°. 4. . 5. SO0. 6. ]/"—т^*
2
7. Или а(у""3 + 1), или а(У~Ъ--\). 8. TV (yr3± \)Vb2~ а2. 9. Ya2 + b2 + с2 + с
2
42 П. С. Моденов
10. 3. 11. 90°. 12. 30°, 60°, 120°, 60°.
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
Черт. 229. (К задаче № 12, гл. XXI)
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ 659
a2 Y Z
§ 2. Треугольная пирамида « 2. б, 10, R 3. 4. 576 с*е. 5. О- (l + ]/"U2^+*)),
' ' ' ' ' ' а+і
Y 3 /fe2 — 1 7 (/W1 + /I1) (m2 + /22) (;я3 + /I3) — тхт2тъ тс3 ' ' тхт2тъ
8. jc:y:^. 9. 6.
Черт. 230.
2T7TI 36
10. 49 а2. 11. 3. 12. 4s1 + (S2 + 5з + S4). 13» 15' В сечении прямоугольник со сторонами ~(я+26)^2); периметр 2а, площадь ~ (а2 — 8Ь2).
16. ^Y (т-a2) (т-Ь2)(т-с2), где т = ± (а2 + b2 + с2). 17. -^L. 18. a) -is;
1 25 9 1 1 0
б) -5; в) -gg-s. 19. а) s; б) s или s; в) jg-s или s. 20. 16. 21. ~ v.
22. 1°. Аа=2+-^ (см. черт. 230 и 231); тре-
угольник ABC — прямоугольный, равнобедренный. 3°. Объем пирамиды аВЬсС равен б |Аз CW3; объем пирамиды aABc
Черт. 232.
Черт. 233.
равен ^ ^ ^ см3. 4°. Расстояние от а до плоскости ABC равно ^L. . 23. 1°. а-
= Yb2 + c2 — bc (черт. 232), S =
Ьс /3
2°. 10л2 = ?2 + с2 — (черт. 233) (I)
и 2а2 + bc = a (Ь + с) (2). 3°. 10а2 = S2 — ЗР, 2a2 = aS — P, S2 — SaS — 4а2 = 0, отсюда S = 4а, P = 2а2; значения b и с при условии, что /_ВАС = 90° и = аУіО;
? = ^(2 + /2), с = л(2 —У"2). 4°. s = -^-(3/3+ 7).
§ 3. Многоугольные пирамиды
I. 2. _16feT____ 3. 1920 смК 4. 5. 3:5. 6. * . 7. .
З 3 (Я2 — b2) Y Ы2 — h2 4 24
9. -|s. 10. а) 4 s; б) 4| s или ~s. 11. ~. 12. -?- и . 13. 126. 14.
16
16
12
a2h 8. -б-
Si+ S2
42*
2
660
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
15.
-^(2+/3)/4*»
б)
25 16
20. ~ Dd.
оо
3q2. 16. dl
s. 17.
21. а)
б)
dl_ З
в)
4
33 12
18. -V- ab
4
26
ab. 19. а) ~r 5;
dl\ r)
96 dL
1. 17 346. 2. 5:3:3:1. 3. ab (V2 + 1). 5,
§ 4. Призмы
3
7. a) ~a*; б)
/З
12
11
8. 32(6 +У 6). 9. 12. 10. -~а2} 2. 11. 2 ] 2ля. 12. 9. 13. 51 и 75. 14. ~s. 15. 4о"
о 4 1z
о 9 !^"9 IQ 97 1
16. jv. 17. -^y^^2. 18. a) 3. б) 1. 19. -~ s. 20. s. 21. 3. 22. a) ~ Dd;
23
11
6) +- Dd; в) ^ Dc/; r) Dc/; д) - Dc/. 23. -f^ і/. 24. а) — я3; 6) о о oz 4 Io j 3
AaK
§ 5. Куб
-^-. 2. . 3. Приблизительно 70 °0, 4. сг2. 5. Плоскость, проходящая через
концы ребер, выходящих из одной и той же вершины куба, перпендикулярна его диагонали, выходящей из той же вершины, и дели г ее в отношении 1:2; отсюда, между прочим, следует, что указанная в условии задачи Плоскость пересекает грани куба по прямым, параллельным соответствующим диагоналям граней — это
' I /XX\\\\Y\>
Черт. 235.
дает возможность точно построить данное сечение куба, наметив сечение AB, скажем верхней его грани (черт. 234); в сечении получается равноугольный шестиугольник (все углы 120°), противоположные стороны которого параллельны; длины
меньших сторон ту а \ -5—-— (а2 — Ab2). 6, Y^=*- 7. 1 : 1. 8. Плоскость должна проходить через диагональ и середину любого скрещивающегося с ней ребра. 9, v. 10. -j-. 11. *
2 — b /б, длины больших сторон т~ а / 2 + * /б; площадь
12.
-Ц-^-я/2. 13.
7 14 1 48 ¦ 14' 9 ИЛИ
169
16
3 '
1125 '
15. Г. Сечения куба плоскостями (П). Пусть D—вершина куба, противоположная точке О. Рассмотрим куб с ребрами OL, ОМ, ОМ; он гомотетичен данному кубу по отношению к О; OD несет на себе диагональ этого куба, которая перпендикулярна плоскости LMN; эта последняя пересекает куб, если точка H пересечения плоскости LMN с OD лежит на отрезке OD. Находим ОН=-^-~: отсюда:
уз
Ответы. Стереометрия. Гл. XXII. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
661
плоскость LMN пересекает куб, если 0 < -?=- < аУ3 или О < х < За; если
У з
О < X <; а, сечение — равносторонний треугольник LMN; если а < х < 2а (это случай L1M1N1 — на черт. 235), то сечение — шестиугольник PQRSTU; наконец, если
2а <; X < За, сечение снова — равносторонний треугольник.
2°. Периметр сечения. Если 0<х<а, р = ЗхУ~2; если а < х <2а, сечение — шестиугольник PQRSTU. Треугольник QM1R равно-
Z
За7УЗ
a2V3 2
/і ! l\
у 1 1 1 \
I I I ^
I I I
I
0
а За Za 2
За x
Черт. 237.
сторонний, значит, QR = RM1; значит, QR + RS = SM1 = а \Г2, значит, периметр в этом случае равен За}г2. Наконец, если 2а^х<3а, р = 3(3а— х)У2. График р = р (х) изображен на черт. 236 — равнобочная трапеция.
X2 Уз
3°. Площадь сечения. Если 0 < х < a, s = —^-• Если а < х <2а,
s = jqfl _ з пл. QM1R = (-2л- + бах - За2) Ц-= - /3 (х - ^)2 ;