Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 151
Черг. 152.
в прямую BC1 а так как эта последняя проходит через фиксированную точку D1 то окружность (АВ'С) проходит через фиксированную точку F1 полученную из D инверсией (A1 k2). Пусть B1 и C1 (черт. 152) — проекции этой фиксированной точки F на Ax и Ay. На основании теоремы Симпсона точки H1 B1 и C1, являющиеся проекциями точки F на стороны треугольника В'AC лежат на одной прямой; точка H1 значит, расположена постоянно на прямой B1C1 (она описывает лишь отрезок B1C1 этой прямой). Мы видим, что проекция H фиксированной точки F на переменную прямую В'С расположена на фиксированной прямой B1C1; значит, В'С касается параболы с фокусом F, для которой B1Ci — касательная в вершине.
576 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
3°. а) Изменение 6 и sin 0. Прямая ВС, вращаясь вокруг точки D, должна пересекать обе полупрямые Ax и Ay. Проведем через точку D прямую, параллельную Ay, и пусть эта прямая пересечет луч Ax в точке В. Точка В может описывать бесконечную часть луча Ах, ограниченную точкой B0. Так как треугольник AB0D равнобедренный, то угол Ь может изменяться от а до х — і, a sin 6 — от sin а до L
^ ^ пгл кг* on AD-sma глп AD • sin а
б) Значения BD и DC. BD=--—--г, DL=—.—T5---г-. Отсюда нахо-
' * Sin (6 -f- а) ып (6 — а)
дим ВС = BD + DC и т. д. _
36. 1°. Вычисление г, г', Оо> и O'w'. Нетрудно доказать, что если окружность (С) инвертируется в окружность (С) относительно точки О, а степень
инверсии равна р, то гомотетия ^0, -—^ , где р' — степень точки О относительно (С) также преобразует (С) в (С), а значит центр (С)— в центр (С). В преобразовании инверсии (O', R'2) окружности (Г) коэффициент гомотетии -^1- будет равен
k' — -^2", з в преобразовании инверсии (О, R2) этот коэффициент равен
/г =--------, Отсюда
а2 — R'
г = R1 k . —--—- , г — /? \k\
¦J*--R2\ 9 <^ — | '
J
___ ///?'2 _ _ ///?2
0'U) = OW =----——, Осо' = Об'к
d2 — R2 d2—R"
__ -___d2 — P2 — Rr2
Оси = 00' + O'co A </,
O'co' = О'O + Ош' = — —fL JL d.
d* — R'2
2'. Соотношения d2 = R2 + R2 ± RR ; величина угла 0A0\ Для того чтобы
R R
имело место равенство г= г', необходимо и достаточно, чтобы---=-.
\d2—R2\ \d2—R'2\
R' R
или -= ± -^2". Отсюда в силу R^R' получим или (1), или (2). Если
d2 — R2 d2 — R'
выполнено условие (1) или (2), то (Г) и (F') пересекаются, так как при каждом из этих предположений мы будем иметь R2+ R'2 — 2RR' < d2 < R2 -f- R" + 2RR', откуда I R— R' і < d < R + R'. Пусть А — точка пересечения; тогда d2 = R2 +
2 1 1
-+- R' — 2/?/?' cos А. В случае (1) cos А = — , А = 60 ; в случае (2) cos Л ~ — ~,
Л = 120°. _
3\ Окружности (у) и (у'} совпадают. Отношение -г-г=-. Для того чтобы
в предположении (1) или (2) окружности (7) и (y') совпадали, необходимо и достаточно, чтобы совпадали их центры, так как радиусы их равны. Равенство Ow = Осо' проверяется исходя из формул, полученных для Ош и Of»' с учетом одного из равенств (1) или (2). В первом случае Осо = Oto' = n — _, d\ во втором Осо =
" R — R
/Т~< R а гл Ой R = =--а. Отношение --------=----—_— в первом случае равно -,
R+ R' соО' OO + Осо v ¦ F R'
R
во втором--^p-. Значит, в первом случае со —' центр положительной гомотетии
окружностей (F) и (Гг), а во втором случае — центр отрицательной гомотетии тех же окружностей.
37. Г. Значение х, если дано PQ = /; PQ = Y^—'Зах~+ Ж Если PQ = I, то имеем
/(л) = Зх2 — Зах + а2 — I2 = 0. (1)
Дискриминант Д = 3 (Al2 — а2) положителен, если I > ^ . Если это условие выполнено, то уравнение (1) имеет два действительных корня: х' и х"\ но решение
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
577
должно быть еще заключено между 0 и а. Имеем: / (0) = а2 — /2; / (а) = а2 — I2.
х' ~\~~ х" CL
Полусумма корней —-= . Если / < а, то /(0) и f(a) положительны, ни одно
из чисел 0 и а не заключено между корнями х' и х", а так как полусумма этих корней заключена между 0 и а, то оба корня х' и х" заключены между 0 и а и дают решение задачи. Если I > а, то /(0) и f(a) отрицательны и числа 0 и а заключены между корнями х' и х"; эти последние не дают решения. Итак, задача
имеет два решения, если < I < а. Если / = ~, то A = O, уравнение имеет
кратный корень х' = х" = у. Наконец, если / = я, то уравнение имеет корни х' = 0
и х" = а — это крайние случаи.
2°. Геометрическое место середин PQ. Пусть С — точка, в которой пересекаются продолжения AP и BQ (черт. 153). Треугольник ABC равносторонний,
Черт. 153. Черт. 154.
четырехугольник MPCQ — параллелограмм. Середина О диагонали PQ этого параллелограмма в то же время — середина второй диагонали MC; точка О получается,
следовательно, из точки M гомотетией ^C1 -^j и значит описывает отрезок А'В',
соединяющий середины сторон CA и CB (черт. 154).
