Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
P1 TZ
sJnin ~п c'l?~n' **** Касательная к окружности, описанной вокруг прямоугольного
треугольника в вершине прямого угла, симметрична высоте, опущенной на гипотенузу относительно любого из катетов. Обозначим через (с) направление, перпендикулярное (Д). Касательная в точке А' к окружности (MA'M') есть,
Черт. 143.
Черт. 144.
следовательно, прямая А'1, симметричная направлению (о) относительно ВС, значит (черт. 144) (A'T1 ВС) = — (о, ВС) (mod. тс). Аналогично: касательная в точке В' к окружности, описанной вокруг треугольника NB'N', есть прямая В'I1 симметричная направлению (о) относительно С А; значит (С А, В I) = ~ (С А, S) (mod • тс). Имеем (A'I1 ВС)+ (ВС, CA)+ (CA1 ?7) = -(5, ВС) + (BC1 С А) — (CA1 Ь) = 2 (ВС, С А). На основании свойства треугольника А'В'С' имеем (C'А', С Br) = 2 (BC1 С А) (mod-ти). Значит, (A'I1 BI) = (CA^CB'), откуда следует, что точки А', В'. С, I лежат на одной окружности. Касательные в точках А' и В' к окружностям (MA'M') и (N8'N') пересекаются на окружности Эйлера треугольника ABC Аналогично доказывается, что и касательные к окружностям (MA'M') и (PCP') в точках А' и С пересекаются в точке окружности Эйлера. Но так как касательная к окружности (MA'M') в точке А' пересекает окружность Эйлера вторично в точке /, то и касательная к окружности (PCP') в точке С проходит через /. Итак, все три касательные проходят через одну и ту же точку / окружнэсти Эйлера, которая и является геометрическим местом этих точек.
33, Г. Значения SO, BD, AE, BE. Треугольники BAE и BOD подобны
(черт. 145); ВО^а—х, BD = Ya (а — 2х), AE = X^\А^> BE = (а—х) у^—
X2
2°. Длины отрезков OI и Al. Гра |зик у = Al. OI =--г, AI-
ах а — X
График функции у =
или у
или при а = 2, у ='~
а — X а — X
дуга равносторонней гиперболы для х от 0 до 1 (черт. 116)
-2-
574 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
00 „ S2 ах (а — х) n ах2 S2 2х (а — 2х)
3°. Соотношение — = т, S1 = тс —-—^—-,S2= 2тс-, — =—г--гт^-= /и
^ — 2х U-X9Si (а—-х)2
а
2*
Si * а— 2х '-~л а — X' S1
или f (х) = (т-\-4) х2 — 2 (т-\~ \) ах + та2 = Q; х должен изменяться от 0 до
Находим /(0) = та2 > 0, f{jj — ~~ > 0, A = (/и+ I)2 а2—т (от+4) а2 = (1— 2т) а2,
Корни f (х) мнимые, если т > •
Если 0 < т < ~ , то корни f{x)
действительны, различны и положительны. Полусумма корней равна
т +1 Л
---Г7 а» и если m изменяется от 0
т + 4
1
до у , эта полусумма возрастает от ^~>~** /
•у ДО у и остается, следовательно,
і /
2
Iv
0
I/• ^ і
г 1
1
2 X
-2
?
/
/ / / /
# I
Черт. 146.
меньше, чем Tj-. Значит, если 0 < т < ^ t уравнение f(x) = 0 имеет два действи-
Л а 1
тельных корня, заключенных между 0 и -g-, и задача имеет два решения; для т > у
решений нет; для т = ~ уравнение /(х) = 0 имеет двойной корень х = ~] ему
2
соответствует лишь одно положение точки С на расстоянии -^-AB от точки А.
о
34. Г. Геометрическое место точек А. Если окружность (С) вневписана в треугольник 0Д? в угол В (черт. 147) или в угол О (черт. 148), ее центр P
расположен на биссектрисе внутреннего угла О AB. Но треугольник OAB равнобедренный, значит эта биссектриса параллельна оси Ox и значит АР\\Ох. Так как P описывает прямую (D), то и точка А постоянно расположена на прямой (D). Обратно: рассмотрим на прямой (D) какую-нибудь точку А и построим соответствующий равнобедренный треугольник ОАВ. Окружность, вневписанная в этот треугольник в углы О или D, имеет радиус г. Таким образом, для всякого положения точки А на прямой (D) существуют две окружности (С). Можно сказать, что точка А может занимать на прямой (D) всевозможные положения и каждое из них два раза.
2\ Окружность (С) — вписанная или вневписанная в угол А. Если окружность (С) вписана в треугольник OAB (черт. 149), то <р изменяется либо от 0
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 575
до -^-, либо от -^p до ті. В случае, если окружность (С) вневписана в угол Л, у изменяется от ~ до ~ (черт. 150).
35. Г. Соотношение ~^?+~^
2 cos а AD
Пусть E — основание биссек-
трисы внешнего угла А (черт. 151). Точки Л, D, ?, 7 — проекции на прямую AD точек E1 D1 В, С Так как (EDBC) = =—1, то и (AD^) = —1, значит, у{
Черт. 149.
Черт. 150.
Л? Лт AD
сторону от точки Л, то
1
1
Но так как ? и y расположены вместе с точкой D по одну
1,1 2 ________ 1 1 2
AB • cos а ЛС • cos а Л?> '
AB + ЛС
2 cos а Л?>
Л? т Л? ~~ ЛО
откуда
2°. а) ВС — проходит через фиксированную точку. Пусть D — точка,
в которой прямая ВС пересекает биссектрису угла дгЛу. Тогда -^- + -— = ^ ¦ г 1,12
С другой стороны, по предположению -J^- + -j-pr = —, значит, ЛО = т cos а и,
значит, точка D фиксирована, когда В и С меняются.
б) Окружность (ABC) проходит через фиксированную точку; В'С касается параболы, Точки В' и С получаются из точек В и С в результате инверсии (Л, &2). Окружность, описанная вокруг треугольника (AB'C)1 инвертируется
