Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Свойство касательной к параболе в точке M и касательной к окружности в точке А. Касательной к параболе в ее вершине является касательная (А,) к окружности (С) в точке F; точка E1 в которой касательная к параболе (L) в точке M пересекает прямую (A1), есть середина отрезка FQx (черт. 132). Производя гомотетию с центром M1 заключаем, что точка /, где касательная пересекает (D)1 есть середина BP. Пусть, с другой стороны, TV — точка, в которой касательная к окружности (С) в точке А пересекает (A1); тогда NF = NA = NE
^ибо J^EAF = —^ . Точка N1 следовательно,— серединаПроизводя гомотетию
с центром A1 заключаем, что касательная к окружности (С) в точке А пересекает прямую (D) также в середине отрезка BP. Итак, касательная к параболе (L) в точке M и касательная к окружности (С) в точке А пересекаются на прямой (D).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 567
4°. Геометрическое место центров окружностей (КРВ). Точка F пересечения высот KH и BA треугольника KPB является его ортоцентром. Окружность (KPB) проходит, следовательно, через точку ср, симметричную F относительно (D). Итак, эта окружность проходит через две фиксированные точки: К и <р. Ее центр, следовательно, расположен на медиатрисе отрезка /(ср, т. е. на прямой (А). Этот центр 12 есть точка пересечения (А) с перпендикуляром в точке / к (D). Так как точка / [пересечения (D) с касательной к окружности (С) в точке А] описывает (D) в целом, то точка 12 описывает (А) в целом. 22. Предварительное замечание. Если на окружности (F) задана какая-нибудь точка P1 отличная от А, то всегда существует окружность, касающаяся (F) в этой точке и окружности (F'). В самом деле, произведем инверсию с полюсом А; окружности (F) и (F') преобразуются в параллельные прямые (F1) и (р[)> а точка P преобразуется в точку P11 расположенную на (F1); существует и притом только одна окружность, касающаяся (F1) в точке P1 и касающаяся (F1); значит, производя ту же инверсию, заключаем, что существует и притом только одна окружность, касающаяся (F) в точке P и касающаяся (F').
Iе. Геометрическое место точек С. Если PuP' — точки прикосновения (С) с (F) и (F') — различны, то (черт. 133) CF + CF' = == FP + PC + F'P' — CP' = FP + F'P' =.-. -тп + т', значит, точка С расположена на эллипсе (?) с фокусами F и F', большая ось которого т + т' (этот эллипс проходит через точку A1 которая является его вершиной). Точка С есть точка пересечения этого эллипса с полупрямой, проходящей через F и проходящей через Р. Так как точка P (см. предварительное замечание) может описывать всю окружность (F)1 то точка С описывает эллипс (E) в целом. Далее, существует бесконечное множество окружностей, касающихся (F) и (F') в точке А; их центры заполняют прямую AFF' целиком.
2°. Свойство прямых PP'. Точка P есть центр отрицательной гомотетии окружностей (F) и (С), а точка P' — центр положительной гомотетии окружностей (F') и (С). На основании свойства центров гомотетий трех окружностей, взятых попарно, заключаем, что точка /, в которой прямая PP' пересекает линию центров окружностей (F) и (F'), есть центр отрицательной гомотетии этих последних; точка /, следовательно, фиксирована; точки I и А, как центры гомотетий окружностей (F) и (F'), гармонически сопряжены относительно F и F'. Следовательно, 2 1 , 1 1 , 1 т. + т' ^ Al — ^тт'
Al AF ' AF' т ' т' mm' ' т + т'
3°. Построение точек, общих эллипсу (E) и произвольной прямой, проходящей через F. Пусть дана какая-нибудь прямая, проходящая через F (но не проходящая через А). Точки встречи этой прямой с эллипсом суть центры окружностей (С), которые касаются (F) в точке пересечения (F) с заданной прямой. Пусть P — одна из этих точек. Соединим Pel, продолжим IP до пересечения в точке P' с (F'). Точка С, в которой пересекаются FP и F'P', есть одна из точек, в которых данная прямая пересекает эллипс (E). Другая точка строится аналогично. Для прямой, проходящей через F', построение также аналогично: сначала находится точка P', затем Р.
4°. Касательные к (С) в точках P и P'. Точка S пересечения касательных к (С) в точках P и P' есть радикальный центр трех окружностей (С), (F) и (F'); эта точка, следовательно, расположена на радикальной оси окружностей (F) и (F') и, следовательно, лежит на их общей касательной (А) в точке А. Точка S есть точка пересечения (Л) н касательной к (F) в точке Р. Так как точка P описывает всю окружность (F), точка .S описывает всю прямую (А). Прямая CS, соединяющая центр С окружности (С) с точкой пересечения касательных к (С) в точках P и P', является биссектрисой угла PCP' — это биссектриса внешнего угла FCF' и, значит, касательная в точке С к эллипсу (E). Для того чтобы провести к эллипсу (E) касательные из произвольной точки S прямой (А), следует поступать так: одна из этих касательных, очевидно, — прямая (А); точка прикосновения другой касательной есть центр окружности (С), которая касается окружностей (F) и (F') в точках прикосновения к этим окружностям касательных, проведенных из S.
