Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 270

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 264 265 266 267 268 269 < 270 > 271 272 273 274 275 276 .. 381 >> Следующая


дины CA и AB- получаются соответственно из точек CuB гомотетией (А, ~

Геометрическое место любой из них есть, следовательно, образ дуги B0EC0 в этой гомотетии.

Соотношение AB • AC' = AC • AB' = 2R. Точки В' и С — основания высот треугольника (T), опущенных из В и С, — суть вторые точки пересечения прямых AC и AB с окружностью, построенной на ВС как на диаметре. Выражая тремя способами степень точки А относительно этой окружности, будем иметь

AB • AC = AC_AB' = AM2 — MB2. Но на основании (2), 1°, учитывая, что d = 2R, будем иметь MA2 -|- МО2 = 3R2. С другой стороны, из прямоугольного треугольника OMB находим Ш2 + ЛЮ2_= R2. Вычитая, получим MA2 — MB2 = 2R2 и окончательно AB . AC = AC • AB' = 2R2.

Геометрическое место точек В 'и С. Эти точки получаются из точек В и С в результате инверсии (A1 2R2). Геометрическое место точек BuC есть дуга B0EC0 окружности (О), проходящей через А; значит, геометрическое место точек В' и С есть отрезок прямой, полученный при инверсии этой дуги — это отрезок прямой DD', заключенный между точками, в которых эта прямая пересекается с прямыми AB0 и AC0.

Огибающая прямых BB' и CC Каждая из этих прямых, на основании предыдущего, лежит на стороне прямого угла, вершина которого описывает прямую DD', а другая сторона проходит через фиксированную точку А; значит, BB' и CC касаются параболы (П) с фокусом A1 для которой DD' — касательная в вершине. Граничные точки дуги параболы, которой касаются BB' и CC1 суть точки прикосновения касательных, которые можно провести к этой параболе из граничных точек отрезка, описываемо'го точками В' и С.

43. Г. Значения у и z (черт. 165):

584 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ

Соотношение между у и Zl у — 2z =

2/г2

2 , это соотношение выражает теорему о медиане в треугольнике AMB. График у = у (х). Часть параболы, соответствующая положительным значениям х\ вершина

~~л ), параметр

1

(черт. 166).

Определение M для у = т2.

Ьа2

а) Если т2 < -у, задача не имеет реше-5а2

ния; б) если т2 = ~у, задача имеет одно решение: точка Af совпадает с Н; в) если

Au2

6"<m2<T-

задача имеет два решения: одно между О и //, другое, симмет-

Черт. 165.

Aa2

ричное первому относительно H1 г) если т2 = -у, задача имеет два решения. Это

4л2

точка О и ей симметричная О' относительно Я; д) если т2 > -у, задача имеет

одно решение: точка Ж — на продолжении луча Ox за точку О',

2°. Двугранный угол A (SM) В. AB j_ Ох; значит, ребро AB перпендикулярно плоскости SOx. Так как ребро SM расположено в этой плоскости и перпендикулярно HK и AB1 то плоскость AKB перпендикулярна ребру SM и, значит, AKB — линейный угол двугранного S угла A(SM)B. Этот двугранный угол будет

прямой, если треугольник AKB будет прямоугольным (/_ AKB = 90°), и так как // —

основание перпендикуляра, опущенного из К на AB1 то /_ AKB будет равен 90° тогда и только тогда, когда Д AKB = Д ЛО#, т. е. HK = HO; значит, SH-биссектриса угла MSO, и так как SAl = Ул2 -г а2, то (черт. 167) -Г7?г = ^-^г или

AlS OS



откуда X = -у

/ л:2 + а2 я

Геометрическое место ДА' и BK. Если Af описывает Ох, то К описывает в плоскости SOx окружность (Г) диаметром SH. Геометрическое место AK и BK — два конуса, вершины которых А и B1 а направляющая — эта окружность.

Пересечение плоскостей, касательных в К этим конусам. Плоскости, касательные в* К к этим конусам, обе проходят через касательную в точке К

Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 585

к окружности (F) и потому пересекаются по касательной к окружности (F) в точке К.

Выбор точки M такой, что прямая пересечения указанных касательных плоскостей будет перпендикулярна О AB. В этом случае касательная к окружности (F) должна быть параллельна OS; положения точки К суть границы К' и К" диаметра этой окружности, перпендикулярного OS (черт. 168); лишь одна из этих двух К' и К" дает решение задачи. Мы видим, что FIM' = 21 К' = HS =

j + cl2 = 2 , значит X = -~-а.

44. Г. Выбор х, при котором треугольник А'В'С существует. Из а > Ь > с

следует всегда а~\-х>Ь-\-х>с + х. Треугольник А 'В' С существует тогда и только тогда, когда б + лг + c-f х > я + х или х > а — (b + с).

2°. Определение при котором треугольник А'В'С прямоугольный в случае а = 21, O= 19, с = 5. Имеем: (21 + х)2 = (19 + х)2 + (5 + х)\ откуда х =— П или X = 5; так как должно быть х > 21 — (19 + 5) = — 3, то х = 5. Случай а = 21, о = 19, с = 12. В этом случае * = —-16 или л: = — 4, и так как л- > 21 — (19 + 12) = — 10, то только х = — 4.

3°. Единственность решения общей задачи.

Имеем (а + *)2 = (Ь + л:)2 + (с + л:)2 или

/ (л:) = X2 — 2 [а — (Ь + с)] х + б2 + с2 — а2 = 0. (1)

Дискриминант этого уравнения положителен: Д = 2 (# — 6) (а — с) > 0; значит, корни всегда действительны и различны. Так как f[a — (b + с)] =—2 (я — 6) X X (# — с) < 0, то число а— (b + с) лежит между корнями и потому существует только один корень уравнения (1), такой, что х > а— (b + с); задача всегда имеет и притом только одно решение.
Предыдущая << 1 .. 264 265 266 267 268 269 < 270 > 271 272 273 274 275 276 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed