Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
s = -
2Ьх
а —21
а2х2 — 2O5JC -+ a2b2 = 0. 5°. s>a2, OM = ~ОВ. В этом случае Д QAj(A/" — прямоугольный равнобедренный, высота его равна а\ значит, площадь равна а2 (черт. 137).
26. 1. Соотношение AC2== — AB (AB -f- ВС). Указание: провести биссектрису угла В (черт. 138), использовать теорему о биссектрисе и подобие треугольников ABD и ABC.
2°. Вычисление AB = jc и ДС = у/. Имеем у — х = 1, у2 = X (х -\- а). Отсюда
Прежде всего из условия X > 0 следует / < ~\ при
д — 2/
этом условии будет и у > 0. Для того чтобы существовал треугольник со сторонами, длины которых а, х, Ь (положительные числа), необходимо и достаточно, чтобы одно из этих чисел было заключено между модулем разности и суммой
al г-,
двух других; это дает I < а < —-. Первое неравенство / < а в предположении / < ™ выполнено. Второе неравенство а < -—j^ Аает * > 1$ (и кратно из
570 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
I > следует второе неравенство^. Итак, необходимое и достаточное условие
существования треугольника ABC1 в котором AC— AB = /, ВС = а и = 2 С,
таково: < / < -?г •
3°. Линии (H1) и (#2). Пусть точка ? расположена левее С (черт. 139). Условие Л С—AB = I означает, что точка А лежит на левой ветви гиперболы (Hx),
для которой В и С — фокусы, а / — длина действительной оси. Условие ? В = 2 ^ С означает, что Д BCD — равнобедренный, так что точка D расположена на медиатрисе отрезка ВС.
Имеем (Д AHD ~ Д COD) == кроме
Л? ВС
4
Ck--н
/ / / у
xі в 0
С
x
того,
из этих соотношении нахо-
AD ~~ CD'
AB ВС 0 дим ~т~а = -T=T7^ = 2; это означает, что точка А An UL
расположена на гиперболе (H2) с фокусом В и соответствующей директрисой (Д) (эксцентриситет равен 2). При этом точка А расположена па левой ветви этой гиперболы. Гиперболы (H1) и (H2) имеют общий фокус В, и их действительная ось есть прямая ВС. Для второй гиперболы директрисой, соответствующей фокусу В, является прямая (А), эксцентриситет равен 2; для первой
Черт. 139.
гиперболы эксцентриситет равен е ¦¦ фокусу В. Если M-
; пусть (A1) — директриса, соответствующая
•точка, общая гиперболам (Hx) и (H2), то, обозначая через Kx
is / а \ / а \ л. MB a MB _
и K2 проекции ее на (A1) и (А), будем иметь ¦ = у- и = 2, откуда
^MK ~ "2Г' Значит точка M расположена на одной из двух прямых (D) и (D'),
являющихся геометрическим местом точек, отношение расстояний от каждой из
которых до прямых (А) и (A1) равно -~\ эти две прямые вместе с (А) и (A1)
образуют гармоническую четверку параллельных прямых. Обратно: если точка M лежит на одной из прямых (D) или (D') и на одной из гипербол (Hx) и (H2), то она лежит и на другой гиперболе. Построение точек, общих гиперболам (/Y1) и (H2), сведено к построению точек, общих одной из них и одной из прямых (D) и (D)) это построение можно выполнить при помощи циркуля и линейки.
Исследование. Так как AC — AB = I1 то должно быть I < а [условие существования гиперболы (H1)]. Точка О — центр гиперболы (H/); пусть O1 — основание директрисы (A1); точка O1
_ _ /2
расположена между О и В; при этом 0O1 OB = — ,
и так как OB = — ~ , то 0O1 =
I2 2а
Пусть /
и /' — точки, в которых прямые (D) и (D') пере-IO ____а_ ТО а_ 7O1J" 21_ И 77O1 ~~_21 ' a (0O1-O/), 21 . ОГ = I2
секают ВС; тогда откуда 21 • OI =
— a (0Ox — ОГ); следовательно, ОГ = ^ ^_^ ,
— I2
01=— о т _l ' Для того чт°бы прямые (D) и (D') пересекали левую ветвь
(JLL г~ CL j
гиперболы, необходимо и достаточно, чтобы абсциссы точек пересечения (D) и (D') с осью ВС были меньше абсциссы —~ вершины этой ветви. Это дает для (D'):
2 (21 —а) " может быть
откуда
3
Мы
2
</<!-. Для (D):
I2
что не
2 (2/+ в)
опять приходим к результатам пункта 2°.
выполнено.
27. Г. BM = ml, CN=--. BM-CN = I2, (BB' + В'M) (CC-'7-СN) = I2 (черт. 140),
т
откуда I (B'M + CN) + В'M- CN = 0; далее,
В'M
C7N'
HB' H7C'
DB
DC
= — JU1
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
571
В' M = — mC'N и т. д. — находим BM = ml, CN = ~ . Перпендикуляры из В и С
DB2 DC2
на DTIf и DN пересекаются на DH. Находим DA = -^щ-» DA* = "сдГ ~~ точка пересечения с прямой DH перпендикуляра, опущенного из С на DN); поделив почленно два последних соотношения, получим ?)д* = 1? значит, точки Л и Л совпадают.
Точки 5, Я, С, Л' лежат на одной окружности. Находим: DB= та
та'
т+1 '
DC=—+-г, DA==-—'7іч9 г ; следовательно, DA - DH= DBDC1 DA' • DH = т + 1 (т + \)21
= DB - DC, т. е. точки В, Н, С, А' расположены на одной окружности. Эта окружность описана вокруг треугольника ВНС, и точка Л симметрична А' относительно ВС и потому совпадает с ортоцентром треугольника ВНС.
Площади BMNC и MDN. S1 = ~- {т + , S2 = ~ . tg Z /Ж. tg Z ^ = tg (а + P) - JSfL+??- - _i«±J)f-^-.
