Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
5°. Инверсия (А, Агат'). Пусть В и В' — точки, диаметрально противоположные точке А относительно окружностей (F) и (F'). Инверсия (А, 4тт')
Черт. 133.
568 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
/
\
Ну
(C1)
\
\
/
Ai
Черт. 134.
В' (F1)
преобразует эти две окружности в две параллельные прямые: (d1) и (D|), касающиеся соответственно в точке В' окружности (D') и в точке В окружности (F). Окружность (С) преобразуется в окружность (Ci), касающуюся этих двух прямых; точки прикосновения P1 и P1 (инвертированные из Я и P') расположены на прямой, параллельной AF (черт. 134). Эта инверсия преобразует прямую PP' в окружность (AP1P[^. Центр этой окружности лежит на медиатрисе (d1) (фиксирован-/" ная прямая) отрезка d1p1; окружность
^AP1P1J) проходит через точку Jx, симметричную А относительно (Dx) Далее, AJ1 = AB' + И7Х = AB' + AB = 2т'+ + 2т = 2 (т -f т'). а) Из полученного результата (AJ1 = const) следует, что прямая PP' проходит постоянно через фиксированную точку J1 полученную из Jy инверсией (A1 4тт'), С другой стороны, точка Jx есть середина отрезка, который соединяет точки F
и Dj, полученные инверсией точек F и F'; в самом деле, , F и D1 гомотетичны В' и В в гомотетии (А. 2); обозначая через Hx середину BB', заключаем, что Jx, которая гомотетична H1 в гомотетии (A1 2), есть середина D1D1; четыре точки F d1, У}, ос образуют гармоническую четверку, значит и F, F\ J, А образуют гармоническую четверку, т. е. точка J гармонически сопряжена с А
— — — 4mmf
относительно F и d'. Наконец имеем AJ • AJx = 4тт', откуда AJ= =
AJx
= . 2тт— я мы СН0Ва приходим к результатам п. 2°: точка У есть та же самая /и + т
точка, которую в п. 2° мы обозначили через I. б) Все окружности (Cx) ортогональны прямой (d1), значит, окружности (С) ортогональны образу (d1) в инверсии (А, 4тт') — это окружность, проходящая через А и касающаяся (Л); точка Н, диаметрально противоположная A1 есть образ H1 в инверсии (Д 4тт')\ значит,
AH-AHx = 4тт', откуда АН = ^72- = ¦ ^тт .Центр /(этой окружности есть
AHx т + /я
. --Тг 2т т' т / г\
середина отрезка АН, значит AK~m_^m,\ точка Л, совпадает с / (и с У).
no ТА Td JA Jb
23. Г. Соотношение •=^-: = -=-:-=-.
/Я /С /D УС
Применяя теорему Менелая к треугольникам ADI и BCI1 пересеченным соответственно трансверсалями JCB и JDА, будем иметь (черт. 135):
ТА e _cd 57^1 Td ZTc 17 _ 1
7D С/ ЯЛ ~~ * УС Dl AB ~ ' откуда
JB
AI
_ УЛ
BI
JC
Dl
JD
CT
Ta
Td
JB
ТВ '
Tc
JD
JC
(1)
2°. Свойство биссектрис углов /ZX/ и /СЛ Пусть я — точка пересечения биссектрис углов IAJ и IBJ и пусть она расположена на УУ; тогда ^4 = 4^ = 7^?;
CtJ J\J LjJ
IA JA ^ _ JD ID DI CI
откуда
^тсюда и из 0) следует T^t =
/В УВ
IC
значит, если
DJ ~ CJ
биссектриса угла ICJ пересекает IJ в точке р, то -~ = ; следовател
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 569
~j = , а потому биссектриса угла IDJ также проходит через ?. Итак, биссектрисы углов ICJ и IDJ пересекаются на IJ.
3°. Свойство окружностей (у,) и (г2). Пусть (Y1) и (y2) — две окружности пучка, предельные точки которого IhJ (черт. Ї36). Проведем через / секущую, пересекающую (y1) в точках А и В. Пусть С — точка пересечения JB с (?2) и D — точка пересечения IC с JA. Так как (T1) и (Y2) принадлежат одному
AI BI /1ч пучку, то -^-7 = -^7-; из (1) находим
CI CJ
AJ ~~ BJ DI
~DJ' °ТКуДа
следует, что
точка D лежит на окружности (Y2)-24. Обобщение задачи. Возьмем на плоскости две произвольные точки: P и Q. Обозначим через А', В' и С середины сторон BC1 CA и AB. Центр тяжести A1 треугольника PBC есть точка отрезка PA' такая, что
PAx = PA'. Это замечание позво-о
ляет утверждать, что если мы обозначим через B1, Cj, A2, B2, C2 центры
Черт. 136.
тяжести треугольников РАС, РАВ, QBC, QCA и QAB, то треугольники A1B1C1 и A2B2C2 получатся из треугольника А'В'С в результате гомотетий ^P, и
(^'"І")" Следовательно, эти треугольники равны, а значит равны и описанные около них окружности. Эти окружности получаются из окружности (Од) девяти точек треугольника ABC в результате гомотетий ^P, ~j и ^Q, . Обозначая
через со центр окружности (O9) Эйлера (середина ОН), а через w1 и <о2 — центры
окружностей, описанных вокруг треугольников ^1B1Ci и A2B2C2, будем иметь:
_ 9 _ _ 2 _ I
P(d1 — ~ Рсо, Qu)2 = — Qw; радиус окружностей (A1B1C1) и (A2B2C2) равен -д-
радиуса R окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Частный с л у-ч а й. Если точка P симметрична ортоцентру H относительно центра О описанной окружности, и Q — точка, симметричная О относительно Н, то co1 совпадает с О,
a 'o2 с Я. Треугольники A1B1C1 и ^2B2C2 равны и вписаны в окружности радиуса -^-с центрами О и Я. 25. 1°. PN = , PQ = ~ , AN = *2 + . — + = 0. 3°. </>2/лй. 4° ._я1^2+*2)
