Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
AM + AM'= 2AH1 AM • AM' = AC • АС. Так как Д AHD - Д AKC1 то 4? = ~ , AH = A^-AK=-
AC
¦ Ya2 — х2\ с другой стороны, AC • AC = a (*2 + ^ в Таким
2а
а — b
2 і
а — о
¦ (Ya2 — X2 ± Yb2 — X2). Точка С служит основанием биссек-
образом, AM и AM' суть корни уравнения X2—---— ]/' а2-
откуда Хи 2 = ~_ь
трис углов AMB и AM'В; значит, MB: MA = M'В : M'А = CB :СА = b : а, откуда
MB = —-—г-(Ya^~-~~x2 — Yb2 —х2), М'В=~^~ а — b а —
для вычисления радиусов р и
(Ya2 — X2 + YЬ2~-х2). Наконец,
окружностей, описанных около треугольников МАВ
AV AD мв M'В
и M AB1 используем соотношения: р л АЯ = 2р и ——-ытт = 2р , а так как
sin ВАМ = sin ВАМ' ,
— , то р = MB -¦ ¦ а ' 2х
sin ЯЛ Af
а , P =
sin ВАМ'
M'В+-, т. е. 2л: '
ab (Yа'
— x2 — Yb2-
2х (а — Ь)
ab (Yа2 — х2~\ Yb2 — X2) 2х(а — Ь)
Касательные к окружностям AMB и AM'В. Окружность AMB ортогональна окружности (Г), так как делит гармонически диаметр CC этой окружности, а потому касательная к ней в точке M есть MD. Аналогично касательная в точке AV к окружности (AM'В) есть M'D. Инверсия (A1 AC • AC) точку В преобразует в D1 и поскольку окружность (Г) в этой инверсии инвариантна (переходит в себя), точка M переходит в точку M'. Значит, окружность (AMB) переходит в прямую DM'. Касательной к окружности (AMB) в точке А будет, следовательно, прямая, проходящая через точку А параллельно DM', а так как A? — хорда окружности AMB1 то касательная к окружности (AMB) в точке В будет антипараллель по отношению к AB для касательной к окружности (AMB) в точке А. Касательные в точках А и В к окружности (AM'В) строятся аналогично.
558
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
С12Ъ2 CL
3°. Частный случай х2 = • 2 •. В этом случае Va2 — х2 =
I/ б2 — *2 = - , откуда MA = / ' , MB = Л 1 7 , MA = —---—-,
Ya2 + b2 Ya2+ Ь2 Уа2-\-Ь2 а — Ь*
М;В ^b^fi^^~- Таким образом, MA2 + MB2 = (a + 6)2 = AB2, а потому Д AMB
прямоугольный (/_ Af — 90°); значит, Л + В = ~ или B= -~ — Л. Далее (черт. 119),
? ABM' = тг— ? ABT' = к— /_ ABJ\ а значит, угол В треугольника AM'В равен
B = Ti — (у — л) = у +Л. Следовательно, для этого треугольника В — Л = -~.
Наконец, для данного значения xt 4?2 = MA2 + MB2 (Д ЛАШ прямоугольный). Подсчитывая Af Л2 + AfB2 и р'2, получим Af Л2 + AfB2 = 4р'2. 15. Г. Определение Al так, что MP -\-2MQ = L а) Имеем MP=Y^2 — -*2, а потому
У^2_^2_|_2Х = /, (1)
или
У"/?2 — X2 = 1 — 2х. (2)
Возводя в квадрат, получим
R2 _ ^ (/ _ 2х)2. (3)
Любое решение уравнения (2) удовлетворяет уравнению (3). Обратно: решение уравнения (3) удовлетворяет уравнению (2) тогда и только тогда, когда х < ~;
в таком случае из (3) следует, что x^CR. А так как, согласно условию, х^О, то задача имеет решение тогда и только тогда, когда уравнение
f(x) = bx2 — Mx + /2 — R2 == 0, (4)
эквивалентное уравнению (3), имеет действительный корень, удовлетворяющий
/ / / \ /2
условию 0 < X < . Имеем /(О)==/2 — /?2, /(-g-j==— — R2. Отсюда следует, что если 0 < / < R1 числа /(0) и /(j^ — 0ТРкЦательны, корни уравнения (4) действительны, а числа 0 и ~ заключены между ними: х' < 0 < ™ < л:" — задача не имеет решения. Если R <l < 2R, то /(0) > 0, / < 0, 4 корни уравнения (4) действительны и при этом 0 < х' < ~ < х". Задача имеет одно
решение, соответствующее меньшему корню х' уравнения (4). Если / > 2R1 то надо вычислить дискриминант уравнения (4): А = 4/2 — 5 (/2 — R2) = 5R2 — I2. Значит, если / > R Y5, то корни уравнения (4) мнимые и задача не имеет решения. Если же 2R < I < RYS1 то корни уравнения действительны и оба заключены между 0 и
~2" — задача имеет два решения. Замечание. Для доказательства последнего
утверждения (т. е. того, что х' < 0 < Y < решим следующую общую задачу
(полученный сейчас результат может быть применен для решения многих задач, сводящихся к рассматриваемой): определить расположение числа т относительно корней х' и х" квадратного трехчлена /(х) = ах2 + bx + с (афО), предполагая, что корни действительны и различны. P е ш е н и е. Пусть корни х' и х" трехчлена f(x) ЕЕ ах2 + bx + с действительны и различны, т. е. афО, Ь2 — Аас > 0. а) Возьмем любое число т < х' < х". Тогда
af(rn) = a (am2 + bm + с) = а2 (т — х') (т — х") > 0, 2т < Xі + х\ 2т <—~, а (2ат + Ь) < 0;
б) пусть т — любое число, такое, что х' < т < х"\ тогда
af(m) = a (am2 + bm + с) = а2 (т — х') (т — х") < 0;
в) пусть наконец т — любое число, такое, что х' < х" < т\ тогда
af(m) = a (am2 + bm + с) > 0, а (2ат + Ь) > 0.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
559
Итак:
если т < хг < х", то a (am2 ф Ьт ф с) > 0, а (2ат ф Ь) <0;
если х' < т < х", то a (am2 ф Ьт ф с) < 0;
если х' < х" <т, но a (am2 ф Ьт ф с) > 0, a (2am -f- 6) > 0.
Методом от противного доказываем, что полученные признаки расположения действительного числа т относительно действительных корней квадратного трехчлена ах2 ф Ьх ф с не только необходимы, но и достаточны. Возвращаясь к случаю 2R < I < R Y 5 данной задачи, заметим прежде всего, что в силу 2R < I < R /5 мы будем иметь: А > 0, т. е. корни уравнения (4) будут действительны и различны. Далее, так как коэффициент при х2 в уравнении (4) положителен, то вместо выражений a (am2 ф Ьт ф с) на (2ат ф Ь) в приведенных выше неравенствах можно рассматривать am2 ф Ьт ф с и 2атфЬ. Полагая т = 0, в силу установленных достаточных признаков находим (5х2—Mx ф I2—R)2x~o = I2—R2 > б, (1Ox — 41)х=о = — 4/ < 0, значит 0 < х' < х" и далее: (5х2 — 4Ix ф /2 — R2) l =
