Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Y'С
Г~А
ZB ZA
XB
~cw
AC XY'
XC1 ~B?J '
Из (4) и (5) следует, что AX' \\BY'. Далее XZ'] АС; значит,
AZ' CX _ XC
' ~~ св~~~
AB
BC
(5)
(6)
площадь треуголь-пл. /\XYZ =
Из (5) и (6) следует, что BY' jj CZ'. Итак, AX' || BY' || CZ'.
3°. Площади треугольников ATZ и X К7', Пусть s —
п , YC ZA т
ника Л#С. Положим —— — л, = и., = v. Іогда
XC . КД
= s -ті-ї-гтї—-щ-п-г , но X.Y, Z — точки пересечения АР, BP и CP с противо-
(1 — А) (1 — (1 — V) . л 0
положными сторонами, поэтому на основании теоремы Чевы Xfuv = — 1. С другой стороны, соотношения (1), (2), (3) принимают такой вид: (1 — X) 4u = I1 (1 —\±) v = 1, (1 — v) X = 1; значит, (1 — X) (1 —» (1 — v) = —; таким образом, пл. Д A'KZ = — 2s; отсюда следует, что треугольники ABC и XYZ имеют противоположную ориента-
цию. Выше мы имели: Следовательно,
X'С Х~В
YC_ YA
¦ 4а; значит, = —
1
пл. Д X'Y'Z'^s
1
= 5
X(JLV - 1
(X-I)(^-I)(V-I)
= -25.
Итак, площади треугольников XYZ и X'Y' Z' равны между собой, а сами эти треугольники имеют одинаковую ориентацию.
17. 1°. Изучение окружностей (Г). Пусть р — степень точки Лі по отношению к (С) (черт. 123). В инверсии (М, р) окружность (С) инвариантна, точки P и Q — образы точек А и В и, значит, окружность (Г) инвертируется в прямую AB. Эта прямая ортогональна (С), значит, (С) и (Г) также ортогональны. Окружность (Г), инвертирующаяся из прямой AB, в инверсии с полюсом M имеет центр о>, расположенный на перпендикуляре, опущенном из M на AB, т. е. на (D). Точка о> лежит всегда вне окружности (С), так как это центр окружности, ортогональной (С). Для того чтобы показать, что точка со может занимать на (D) все положения, внешние по отношению к (С), возьмем на прямой (D) какую-нибудь точку соь внешнюю по отношению к (С). Существует окружность (Г,), имеющая центром эту точку и ортогональная (С); пусть M1—одна из точек, в которых окружность (Гх) пересекает (D). Построим окружность (Г), соответствующую выбранной точке Mx; эта окружность (Г) будет проходить через точку Mx и будет ортогональна (С). Существует бесконечное множество окружностей, проходящих через M1 и ортогональных (С), но среди них только одна имеет центр на прямой (D); значит, (Г) и (T^1) совпадают и центр ш окружности. (Г) есть W1. Геометрическое
36 П. С. Моденов
?62
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
место точек со есть для случая, изображенного на черт. 123 (d > R)1 — прямая в целом, а для случая, изображенного на черт. 124 (d < R), — часть прямой, внешняя по отношению к (С).
2°. Свойства прямой PQ. Так как окружности (С) и (Г) ортогональны, их тот.ки пересечения PnQ суть точки прикосновения касательных, проведенных из
центра со окружности (Г) к (С); прямая PQ есть, следовательно, поляра точки со по отношению к (С). Точка со постоянно расположена на (D), а значит поляра PQ проходит постоянно через полюс 5 прямой (D) по отношению к (С).
Геометрическое место второй точки TV, общей (Г) и окружности (МАВ). В инверсии с полюсом .S, которая оставляет окружность (С) инвариантной, окружность (Г) и окружность, описанная вокруг треугольника MAB, также инвариантны; точки M и N1 общие для этих окружностей, соответствуют друг другу в этой инверсии. Точка M описывает прямую (D) (в целом). Точка TV описывает, следовательно, в целом линию, полученную инверсией (D). Это есть окружность, проходящая через S и имеющая центр на SH. Из того, что точки A1 В, H1 S образуют гармоническую четверку, следует, что образ точки И в инверсии гармонически сопряжен с бесконечно удаленной точкой относительно инвертированных точек A1 B1 т. е. относительно В к А; значит, точка H инвертируется в середину О отрезка AB. Окружность, являющаяся геометрическим местом точек N1 есть окружность, построенная на OS как на диаметре.
3°. Соотношение между Xy у, R и d. Окружность (Г) ортогональна (С). Обозначая через р радиус окружности (Г), будем иметь: Ow2 = R2 -J- р2, т. е.
d<R
Черт. 124.
Черт. 126.
ОН2 + Ш2 = R2 + соЛ12 = R2 + (HM — Ясо)2, нлп d2 _|_ у2 = Ri + (х — у)2, или 2л:у = л2 + R2 — d2. При d = ~ будем иметь
^ X SR2 .
У 2 Sx '
ывает
/ RVs] IrVs . \
у возрастает в полуинтервалах І — ос,--^— | и —-— , 4- со 1; у у б
в полуинтервалах I--^— '0J и ~~2~~ J ; ПРИ х =--2— ' Утах ~--2~~'
Rf~3 RYz и m ,
при X = —^— , ymin = —^— . В интервале (— со, O) функция выпукла вверх,
а в интервале (0, +ее) — вниз. График функции изображен на чертеже 125. З а м е-
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 563
чани е. Для я* = -j" прямая (D) пересекает окружность (С) в двух точках, рас-
RV"3
положенных на расстоянии
от точки Н. Из чертежа 125 или из соотношения (а) следует, что если точка M описывает прямую (D) в целом, то точка w (всегда расположенная с той же стороны, что и M по отношению H) проходит два раза через каждую точку (D), внешнюю по отношению к (С).