Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 257

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 251 252 253 254 255 256 < 257 > 258 259 260 261 262 263 .. 381 >> Следующая


Y'С

Г~А

ZB ZA

XB

~cw

AC XY'

XC1 ~B?J '

Из (4) и (5) следует, что AX' \\BY'. Далее XZ'] АС; значит,

AZ' CX _ XC

' ~~ св~~~

AB

BC

(5)

(6)

площадь треуголь-пл. /\XYZ =

Из (5) и (6) следует, что BY' jj CZ'. Итак, AX' || BY' || CZ'.

3°. Площади треугольников ATZ и X К7', Пусть s —

п , YC ZA т

ника Л#С. Положим —— — л, = и., = v. Іогда

XC . КД

= s -ті-ї-гтї—-щ-п-г , но X.Y, Z — точки пересечения АР, BP и CP с противо-

(1 — А) (1 — (1 — V) . л 0

положными сторонами, поэтому на основании теоремы Чевы Xfuv = — 1. С другой стороны, соотношения (1), (2), (3) принимают такой вид: (1 — X) 4u = I1 (1 —\±) v = 1, (1 — v) X = 1; значит, (1 — X) (1 —» (1 — v) = —; таким образом, пл. Д A'KZ = — 2s; отсюда следует, что треугольники ABC и XYZ имеют противоположную ориента-

цию. Выше мы имели: Следовательно,

X'С Х~В

YC_ YA

¦ 4а; значит, = —

1

пл. Д X'Y'Z'^s

1

= 5

X(JLV - 1

(X-I)(^-I)(V-I)

= -25.

Итак, площади треугольников XYZ и X'Y' Z' равны между собой, а сами эти треугольники имеют одинаковую ориентацию.

17. 1°. Изучение окружностей (Г). Пусть р — степень точки Лі по отношению к (С) (черт. 123). В инверсии (М, р) окружность (С) инвариантна, точки P и Q — образы точек А и В и, значит, окружность (Г) инвертируется в прямую AB. Эта прямая ортогональна (С), значит, (С) и (Г) также ортогональны. Окружность (Г), инвертирующаяся из прямой AB, в инверсии с полюсом M имеет центр о>, расположенный на перпендикуляре, опущенном из M на AB, т. е. на (D). Точка о> лежит всегда вне окружности (С), так как это центр окружности, ортогональной (С). Для того чтобы показать, что точка со может занимать на (D) все положения, внешние по отношению к (С), возьмем на прямой (D) какую-нибудь точку соь внешнюю по отношению к (С). Существует окружность (Г,), имеющая центром эту точку и ортогональная (С); пусть M1—одна из точек, в которых окружность (Гх) пересекает (D). Построим окружность (Г), соответствующую выбранной точке Mx; эта окружность (Г) будет проходить через точку Mx и будет ортогональна (С). Существует бесконечное множество окружностей, проходящих через M1 и ортогональных (С), но среди них только одна имеет центр на прямой (D); значит, (Г) и (T^1) совпадают и центр ш окружности. (Г) есть W1. Геометрическое

36 П. С. Моденов

?62

Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ

место точек со есть для случая, изображенного на черт. 123 (d > R)1 — прямая в целом, а для случая, изображенного на черт. 124 (d < R), — часть прямой, внешняя по отношению к (С).

2°. Свойства прямой PQ. Так как окружности (С) и (Г) ортогональны, их тот.ки пересечения PnQ суть точки прикосновения касательных, проведенных из

центра со окружности (Г) к (С); прямая PQ есть, следовательно, поляра точки со по отношению к (С). Точка со постоянно расположена на (D), а значит поляра PQ проходит постоянно через полюс 5 прямой (D) по отношению к (С).

Геометрическое место второй точки TV, общей (Г) и окружности (МАВ). В инверсии с полюсом .S, которая оставляет окружность (С) инвариантной, окружность (Г) и окружность, описанная вокруг треугольника MAB, также инвариантны; точки M и N1 общие для этих окружностей, соответствуют друг другу в этой инверсии. Точка M описывает прямую (D) (в целом). Точка TV описывает, следовательно, в целом линию, полученную инверсией (D). Это есть окружность, проходящая через S и имеющая центр на SH. Из того, что точки A1 В, H1 S образуют гармоническую четверку, следует, что образ точки И в инверсии гармонически сопряжен с бесконечно удаленной точкой относительно инвертированных точек A1 B1 т. е. относительно В к А; значит, точка H инвертируется в середину О отрезка AB. Окружность, являющаяся геометрическим местом точек N1 есть окружность, построенная на OS как на диаметре.

3°. Соотношение между Xy у, R и d. Окружность (Г) ортогональна (С). Обозначая через р радиус окружности (Г), будем иметь: Ow2 = R2 -J- р2, т. е.

d<R

Черт. 124.

Черт. 126.

ОН2 + Ш2 = R2 + соЛ12 = R2 + (HM — Ясо)2, нлп d2 _|_ у2 = Ri + (х — у)2, или 2л:у = л2 + R2 — d2. При d = ~ будем иметь

^ X SR2 .

У 2 Sx '

ывает

/ RVs] IrVs . \

у возрастает в полуинтервалах І — ос,--^— | и —-— , 4- со 1; у у б

в полуинтервалах I--^— '0J и ~~2~~ J ; ПРИ х =--2— ' Утах ~--2~~'

Rf~3 RYz и m ,

при X = —^— , ymin = —^— . В интервале (— со, O) функция выпукла вверх,

а в интервале (0, +ее) — вниз. График функции изображен на чертеже 125. З а м е-

Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 563

чани е. Для я* = -j" прямая (D) пересекает окружность (С) в двух точках, рас-

RV"3

положенных на расстоянии

от точки Н. Из чертежа 125 или из соотношения (а) следует, что если точка M описывает прямую (D) в целом, то точка w (всегда расположенная с той же стороны, что и M по отношению H) проходит два раза через каждую точку (D), внешнюю по отношению к (С).
Предыдущая << 1 .. 251 252 253 254 255 256 < 257 > 258 259 260 261 262 263 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed