Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3°. Геометрическое место центров окружности (у). Если точка / совпадает с I0, то центр U окружности (т) находится в О. Для всякого другого положения точки / четырехугольник FAiIB подобен Л"
четырехугольнику FA0OB0, значит
(черт.
158) = FI
например окружно-
Черт
подобия находим
- = -Л-, и так как z I0A0F = 60°, то P0F = 2P0I0. Из соображений
Отсюда сле-
FIo
дует, что точка 12 расположена на прямой, параллельной (А) и проходящей через точку О, т. е. на перпендикуляре Oy к оси Ox в точке О. Точка H описывает Oy в целом (черт. 158).
Свойство точек окружностей (у). Если точка / совпадает с I0, то окружность (7) совпадает с окружностью, центр которой О, а радиус OA0, пусть (7о) — эта окружность и пусть .s и S' — точки, в которых она пересекает ось Ох. Точки S и S' гармонически сопряжены с точками I0 и F. Окружность (yo) принадлежит, следовательно, пучку окружностей, для которого F и I0 суть предельные точки; отношение расстояний от любой точки этой окружности до точек I0 и F постоянно, и мы имеем, [P0 — какая-нибудь точка
, ч1 PoF A0F «и (Yo)]: TTTT = ^0
PF
'pj = 2, где P — какая-нибудь точка окружности (7).
Геометрическое место точек M и М\ Расстояние от любой из этих точек до / есть в то же время расстояние от этой точки до (А). Каждая из точек M и M', следовательно, такова, что отношение расстояния от нее до F и до (А)
равно 2; эти точки, следовательно, расположены па гиперболе с фокусом F и соответствующей директрисой (А); эксцентриситет равен 2. Точки M и M' — суть точки пересечения указанной гиперболы с прямой, проходящей через / параллельно Ох. Так как точка / описывает прямую (А) в целом, то каждая из точек M и M' описывает в целом одну из ветвей гиперболы. Эта гипербола (F) и есть искомое геометрическое место; .s и S'— ее вершины (положения точек M и M' для того случая, когда точка / совпадает с I0); окружность (Yo) есть ее главная окружность, a (D) и (D') — асимптоты. Для того чтобы построить касательную к (F) в точке М, достаточно провести через фокус F прямую перпендикулярную MF, и соединить точку М, с точкой Т, в которой этот перпендикуляр пересечет (А). Эта прямая будет вместе с тем касаться в точке M окружности (y); в самом деле, окружность с диаметром MT, очевидно, проходит и через F и через /. Но точки IwF гармонически разделяются концами диаметра (y), лежащего на прямой IF (ибо / -—основание поляры точки F); значит, окружность с диаметром MT ортогональна (7) и значит MT касается (7). Гипербола (F) и окружность (7) имеют одну и ту же касательную в точке М, аналогично и в точке M' (из соображений симметрии).
40. Г. Построение окружностей, касающихся (D) в точке M vt касающихся (С). Пусть р — степень точки M относительно окружности (С). В инверсии (М, р) прямая (D) и окружность (С) инвариантны, а искомые окружности преобразуются в прямые, параллельные (D) и касающиеся XQ. Отсюда построение: проведем к (С) две касательные, параллельные (D) (черт. 159); пусть А' и В'—точки прикосновения. Образами этих точек в инверсии (М, р) будут точки А и В, в которых прямые MA' и MB' пересекают окружность (С).
Черт. 159.
оН>
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
Замечание 1. Предполагается, что точка Ai не расположена на окружности (С). Легко видеть, что если точка M расположена на окружности (С), не существует окружности, удовлетворяющей условию задачи, или существует бесконечное множество соответственно в зависимости от того, пересекает или касается прямая (D) окружности (С).
Замечание 2. Если прямая (D) касается (С) и точка M не есть точка прикосновения, то одна из окружностей (а) или ($) вырождается в прямую (D).
Изучение окружности (ABM), Эта окружность получается из прямой А'В' в результате инверсии (M1 р). Так как прямая А 'В' ортогональна (С), то и окружность (ABM) ортогональна (С). Так как, с другой стороны, прямая А'В' перпендикулярна (D), то и окружность (ABM) перпендикулярна (D). Пусть / — центр окружности (ABМ). Из того что окружность (AMB) ортогональна (С), следует, что касательные к (С) в точках А и В пересекаются в центре / окружности (AAiB); так как окружность (AMB) ортогональна (D), то (D) — ее диаметр и точка / также лежит на (D).
Замечание. В частом случае, когда точка Al совпадает с проекцией H точки О на (D), точки /1 и В совпадают соответственно с В' и А' и окружность (AMB) вырождается в прямую.
2\ Геометрическое место точек M' и /, Точка M', диаметрально противоположная точке М, лежит на окружности, ортогональной (С), и является точкой,
полярно сопряженной с точкой M относительно (С). Значит, когда точка M фиксирована, а прямая (D) вращается вокруг М, точка AV описывает в целом поляру (т) точки Al относительно окружности (С). Точка / пересечения касательных к (Q
Черт. 161.
в точках А и В есть центр / окружности (ABAi); эта точка / —-середина отрезка AiAV; она получается из M' в результате гомотетии ^M, ~j. Значит,
геометрическое место точек / есть прямая, полученная из (т) гомотетией ^M1 R
