Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 263

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 257 258 259 260 261 262 < 263 > 264 265 266 267 268 269 .. 381 >> Следующая


2°. 3°.

1-

- tg а tg ? (т + I)2 I2 — та2 *

BD

4°. Геометрическое МеСТО ТОЧеК Л. /71= ——

DC

X +

2 а + 2х т^-г

- ОЛ =

а2 — 4л-2

- дуга параболы (черт. 141).

(/тг+ I)2/ 4/

28. Г. Сумма радиусов (/>) и (E) постоянна. Треугольники BMD и ВСЕ равнобедренные, значит DM\\FC; точно также /\СМЕ равнобедренный, значит МЕ\\ЕВ. Четырехугольник DEEM — параллелограмм. Значит (черт. 142) BD + + CE = DB + DE = EB= const. Соединим точки D1 E и С с центром О описанной окружности. Имеем: OF = ОС, CB == D/7, Z ОСЕ = Z 0/7C = Z 0/7D. Следовательно, &ОСЕ = &OFD и OD = OE; отсюда следует, что медиатриса отрезка DE проходит через центр О окружности, описанной вокруг треугольника ЛВС.

Черт. 141.

Черт. 142.

2°. Геометрическое место середин DE. Середина G отрезка DE есть также

и середина FM; G получается из M гомотетией (^F, значит, геометрическое

место точек G есть отрезок BjCj, соединяющий середины B1 и C1 отрезков FBnFC Огибающая DE. DE есть вторая сторона прямого угла OGD, первая сторона которого проходит через фиксированную точку О, а вершина описывает отрезок B1C1. Значит, DE касается параболы с фокусом О и касательной в вершине B1C1. Из свойства касательной к параболе следует, что G есть середина отрезка касательной, заключенной между точкой H' пересечения параболы с ее осью OF и точкой H прикосновения; эта последняя, таким образом, симметрична H' относи-

H'D FD

ак как последнее отношение по

п НЕ

тельно G; имеем: —

HD H'E

FE

572

Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ

абсолютной величине равно о і ношению радиусов окружностей, то отсюда следует, что H есть центр отрицательной гомотетии этих окружностей.

3°. MN проходит через A; AM AN = const. Так как AB = АС, то А есть точка радикальной оси окружностей (D) и (E). Далее AM • AN = AB2 = const.

Геометрическое место точек N. Точка TV получается инверсией M в инверсии (A, AB2). Геометрическое место точек TV есть образ отрезка ВС в указанной инверсии, т. е. дуга BNC окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

4и. Инверсия данной конфигурации. Обозначим через В и С образы точек В и С в инверсии (N t NA1 NM). Прямая ВС перейдет в окружность (NB'C)1 прямая AC—в окружность (NMC'), прямая AB — в окружность (NMB'), окружность (О) перейдет в прямую В'MC'; окружность (NMB) в прямую AB', касательную к (NMB'), а окружность (NMC) — в прямую AC1 касательную к (NMC'). Таким образом, инвертированная фигура будет равнобедренным треугольником AB'С и двумя окружностями (\[МВГ) и (NMC)1 касательными к AB' я AC и пересекающимися на основании В'С. 29. Если треугольник равнобедренный (AB = AC)1 то, очевидно, окружность (A B1C1) касается ВС. Докажем обратное положение. Пусть окружность (А*В[с[) пересекает вторично ВС, CA и AB в точках X, Y1 Z. Ориентируем контур треугольника ABC в направлении от А к В, от В к С и от С к А. Тогда

ВЛ<=_«_, TC=-^, ^=_^_, Ьс

b 4- с * b -j-- с ' ] с — а * 1 с — а

сГ?=", c[A Ьс

і п — h ' А

а — b ' 1 а — b

(для вывода этих соотношений следует воспользоваться теоремами о биссектрисах внутреннего и внешнего угла треугольника и теоремой Шаля). Далее, АВ\-AY = — AC[ • AZ1 ВС[ • BZ = BA' • BX, СВ[ • CY = CA' - СХ, откуда и из предыдущих соотношений имеем:

я — с 4 — b а — b ' b-\-с а — с b-\-с 7

Предположим, что точки А' и X совпадают, тогда BX = -т^т-—, XC- а^

__ Ь + с 9 Ь + с1

п, BZ ас n CY ab

а значит из (1) __ + __= о, —- --^-^ = 0; следовательно,

+ и AZ = AB + BZ =

. ас (b —- a) c[(b + c)2 + a(b-a)\ _ _ л

— с ч—7+-—~- = —-—~~—I—~----—. Для того чтобы было выполнено и

(Ь + с)2 о (Ь + с)2

первое из соотношений (1), необходимо и достаточно, чтобы

b\a(a~c)~(b + c)2] c[(b + c)2 + a(b-a J]^0 а — с * a — b *

или

(Ъ — с) \(b + с)2 (6 + с — а) + а (а — Ь) (а — с)] = 0.

Отсюда либо b — с = 0, т. е. b = с — треугольник равнобедренный, либо равно нулю выражение в квадратных скобках, что невозможно, ибо это равенство можно представить в виде abc = — (a + b + с) (b + с — а)2.

Sin -н- 4- Sin Ij

30, Г. Значения а, ?, d sin-у = a, ^ sin ~ = 6, /г (а 4 ?) = 2т,, -—-

et 8

sin -g- — sin Y

^—^- и т. д. (черт. 143). Ответ:

а = _ + 2 arctg tg , ? = - - 2 arctg tg ,

sin + arctg (?-p* tg ?)] sin _arctg (^-J tg ?)]

Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 573

2\ Наибольшее и наименьшее значение s.

л (a+ ft) = 2/7, /z(, + ?) = 2ix, S = J(a*ctg-j + 6«ctg-|).

2г?

Полагая а = х, находим: о = —--X1

sin -^-



¦ + ctg —:--cosec-

1 0 п п

~ JP-

п

Далее,



ctg -

: ctg

откуда

(v-r)'

ctg-ctgY + l

ctg T7-CIg--

я . ^ 1 : с er---L cOSeC--ъ-

ь п 1 п 2р

2р2 г. п\ „ р

+ -V ctg — ctg T5—I. При X = — к

пх меем Sn

Ti4 TZ [ 2рх ,



W ctg при х = 0 пх=-
Предыдущая << 1 .. 257 258 259 260 261 262 < 263 > 264 265 266 267 268 269 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed