Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2°. 3°.
1-
- tg а tg ? (т + I)2 I2 — та2 *
BD
4°. Геометрическое МеСТО ТОЧеК Л. /71= ——
DC
X +
2 а + 2х т^-г
- ОЛ =
а2 — 4л-2
- дуга параболы (черт. 141).
(/тг+ I)2/ 4/
28. Г. Сумма радиусов (/>) и (E) постоянна. Треугольники BMD и ВСЕ равнобедренные, значит DM\\FC; точно также /\СМЕ равнобедренный, значит МЕ\\ЕВ. Четырехугольник DEEM — параллелограмм. Значит (черт. 142) BD + + CE = DB + DE = EB= const. Соединим точки D1 E и С с центром О описанной окружности. Имеем: OF = ОС, CB == D/7, Z ОСЕ = Z 0/7C = Z 0/7D. Следовательно, &ОСЕ = &OFD и OD = OE; отсюда следует, что медиатриса отрезка DE проходит через центр О окружности, описанной вокруг треугольника ЛВС.
Черт. 141.
Черт. 142.
2°. Геометрическое место середин DE. Середина G отрезка DE есть также
и середина FM; G получается из M гомотетией (^F, значит, геометрическое
место точек G есть отрезок BjCj, соединяющий середины B1 и C1 отрезков FBnFC Огибающая DE. DE есть вторая сторона прямого угла OGD, первая сторона которого проходит через фиксированную точку О, а вершина описывает отрезок B1C1. Значит, DE касается параболы с фокусом О и касательной в вершине B1C1. Из свойства касательной к параболе следует, что G есть середина отрезка касательной, заключенной между точкой H' пересечения параболы с ее осью OF и точкой H прикосновения; эта последняя, таким образом, симметрична H' относи-
H'D FD
ак как последнее отношение по
п НЕ
тельно G; имеем: —
HD H'E
FE
572
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
абсолютной величине равно о і ношению радиусов окружностей, то отсюда следует, что H есть центр отрицательной гомотетии этих окружностей.
3°. MN проходит через A; AM AN = const. Так как AB = АС, то А есть точка радикальной оси окружностей (D) и (E). Далее AM • AN = AB2 = const.
Геометрическое место точек N. Точка TV получается инверсией M в инверсии (A, AB2). Геометрическое место точек TV есть образ отрезка ВС в указанной инверсии, т. е. дуга BNC окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
4и. Инверсия данной конфигурации. Обозначим через В и С образы точек В и С в инверсии (N t NA1 NM). Прямая ВС перейдет в окружность (NB'C)1 прямая AC—в окружность (NMC'), прямая AB — в окружность (NMB'), окружность (О) перейдет в прямую В'MC'; окружность (NMB) в прямую AB', касательную к (NMB'), а окружность (NMC) — в прямую AC1 касательную к (NMC'). Таким образом, инвертированная фигура будет равнобедренным треугольником AB'С и двумя окружностями (\[МВГ) и (NMC)1 касательными к AB' я AC и пересекающимися на основании В'С. 29. Если треугольник равнобедренный (AB = AC)1 то, очевидно, окружность (A B1C1) касается ВС. Докажем обратное положение. Пусть окружность (А*В[с[) пересекает вторично ВС, CA и AB в точках X, Y1 Z. Ориентируем контур треугольника ABC в направлении от А к В, от В к С и от С к А. Тогда
ВЛ<=_«_, TC=-^, ^=_^_, Ьс
b 4- с * b -j-- с ' ] с — а * 1 с — а
сГ?=", c[A Ьс
і п — h ' А
а — b ' 1 а — b
(для вывода этих соотношений следует воспользоваться теоремами о биссектрисах внутреннего и внешнего угла треугольника и теоремой Шаля). Далее, АВ\-AY = — AC[ • AZ1 ВС[ • BZ = BA' • BX, СВ[ • CY = CA' - СХ, откуда и из предыдущих соотношений имеем:
я — с 4 — b а — b ' b-\-с а — с b-\-с 7
Предположим, что точки А' и X совпадают, тогда BX = -т^т-—, XC- а^
__ Ь + с 9 Ь + с1
п, BZ ас n CY ab
а значит из (1) __ + __= о, —- --^-^ = 0; следовательно,
+ и AZ = AB + BZ =
. ас (b —- a) c[(b + c)2 + a(b-a)\ _ _ л
— с ч—7+-—~- = —-—~~—I—~----—. Для того чтобы было выполнено и
(Ь + с)2 о (Ь + с)2
первое из соотношений (1), необходимо и достаточно, чтобы
b\a(a~c)~(b + c)2] c[(b + c)2 + a(b-a J]^0 а — с * a — b *
или
(Ъ — с) \(b + с)2 (6 + с — а) + а (а — Ь) (а — с)] = 0.
Отсюда либо b — с = 0, т. е. b = с — треугольник равнобедренный, либо равно нулю выражение в квадратных скобках, что невозможно, ибо это равенство можно представить в виде abc = — (a + b + с) (b + с — а)2.
Sin -н- 4- Sin Ij
30, Г. Значения а, ?, d sin-у = a, ^ sin ~ = 6, /г (а 4 ?) = 2т,, -—-
et 8
sin -g- — sin Y
^—^- и т. д. (черт. 143). Ответ:
а = _ + 2 arctg tg , ? = - - 2 arctg tg ,
sin + arctg (?-p* tg ?)] sin _arctg (^-J tg ?)]
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 573
2\ Наибольшее и наименьшее значение s.
л (a+ ft) = 2/7, /z(, + ?) = 2ix, S = J(a*ctg-j + 6«ctg-|).
2г?
Полагая а = х, находим: о = —--X1
sin -^-
2р
¦ + ctg —:--cosec-
1 0 п п
~ JP-
п
Далее,
2р
ctg -
: ctg
откуда
(v-r)'
ctg-ctgY + l
ctg T7-CIg--
я . ^ 1 : с er---L cOSeC--ъ-
ь п 1 п 2р
2р2 г. п\ „ р
+ -V ctg — ctg T5—I. При X = — к
пх меем Sn
Ti4 TZ [ 2рх ,
2р
W ctg при х = 0 пх=-