Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Исследование. Если А — острый угол, т. е. а2 < Ъ2 + с2, то оба корня отрицательны и искомое значение х — отрицательно; если А = 90°, то х = 0; если А — тупой угол, т. е. а2 > Ь2 + с2, то корни уравнения (1) противоположных знаков, значит решение дает лишь положительный корень. Итак, если все углы треугольника ABC острые и а > b > с, то для получения прямоугольного треугольника надо уменьшить все его стороны на одну и ту же длину. Если же ABC — тупоугольный треугольник (А — тупой угол), то для получения прямоугольного треугольника надо все его стороны увеличить на одну и ту же длину.
45. Г. Геометрическое место центров (х). Медиатриса отрезка ВС.
2°. Геометрическое место точек M' и М\ Окружность с центром А и
радиусом -4^-.
Y2
MB , - MB 1
3 . Zr-- = const. Отношение постоянно равно —==•. MC MC * Y 2
bc(a + b + c)(b + c — a) AD>D?:= (b + c)2
Аналогично
с +а V (а + b + с) (с + а — Ь) *
Условие DB = FG принимает вид (а— b) (а + b + с) [а2 (а + с) (а + с — b) + -rab(a^ с) (Ь + с) + Ь2 (Ь + с) (b + с — а)] = 0, откуда а = Ь.
47. bc = 2R-AN, b2 = а2 + с2 — 2а . BH9 BH=-+C*~b2 , HC = a —BH =
o2 + b2 — c2 ип ... in (a2 + c2 — b2)(a2+b2 — c2) п
— .—l_-,BH-HC = AH-HFHI = ^—1--r~f—¦--R; аналогично
2а 2а2 be
{h2 jl. а2_с2) (Ь2 -4-е2_а2)
JK=-——-2ab2c - * Равенство HI = JK приводится к виду
(а — b) (а + b + с) (а + b —¦ с) = 0, откуда а = Ь.
48. АМ2 = 2{Ь2+Р~~а\ AM-MN = BM-MC, MN = — fl' ;
4 2Y2(b2 + c2) — a2
b2
аналогично PQ = —____ . Равенство MN = PQ приводится к виду
2Y2(a2 + c2) — b2 {а2 — b2) (2а' + a2b2 + 264 + 2а2с2 + 2b2c2) = 0, откуда а = Ь.
49. Указание. Выразить двумя способами степени точек DnD' относи тельно данной окружности.
586 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
50. 1°. Треугольник DEF — равносторонний: 2°, /\SDT. Треугольник SxDT- равносторонний.
3°. /\АСМ. Треугольник ACM — равносторонний.
cb
4°. Значение AD. AD = ——-.
с + Ь
51. Г. Точки D, ЛГ, F лежат на одной прямой. EMC = 90°, ? CMF = 90°; значит, Z.EMF= 180J.
Точки Л, AT, С лежат на одной прямой. Так как /_ ABC = /_ ADC = 90°, то прямые FBnED — две высоты треугольника AEF; следовательно, AC — третья высота; но CM J_ EF; значит, точки A1 C1 M лежат на одной прямой (на этой третьей высоте).
Окружности, описанные вокруг треугольников ADE и ABF. Так как
ADE = AME =¦¦ 90°, то окружность, описанная вокруг треугольника ADE, проходит через M] точно так же, так как /_ ABF = /_ AMF = 90°, окружность, описанная вокруг треугольника ABF, проходит через М. Обе эти окружности пересекаются в точках А и M1 AM — их радикальная ось.
2\ Вычисление углов BME и DMF. BME = ? ВСЕ, ВСЕ = ? BAD, так как оба эти угла в сумме с углом BCD дают т.; значит, ? BME = а; анало-іично l_DMF = а. Биссектриса угла BMD. Так как / FMC = /_ CME = 90°, то /_ CMB = / CHD = 90° — а, прямая MCA — биссектриса угла BMD.
3°, Вид треугольника BID. BI — медиана прямоугольного треугольника BEF;
значит, BI = -g- DD; аналогично D/ = у DD; значит, D/ = DI1 треугольник IBD — равнобедренный.
Точки /, О, J лежат на одной прямой. Точка / принадлежит медиатрисе отрезка BD и т. д. Окружность, вписанная в OBID. Четырехугольник OBID имеет
ось симметрии (Ol). Центр вписанной
Черт. 169. Черт. 170.
4U. Значения х = BE и у = DF. х = R (2 + Y 3), у = Я (21/"2 + / б).
53. Если бы в треугольнике ^DC мы имели бы y4D^?C, ВСфСА и САфАВ, то окружность Эйлера пересекала бы все три стороны.
Обратное положение верно: если треугольник равнобедренный, то окружность Эйлера касается его основания.
54. Г. а) Четыре точки Л, В, А', В' лежат на одной окружности.
PA-PB= PA' •PB' = PH2.
б) Исследование центра I. Центр / лежит, например, на медиатрисах отрезков AB и А'В' (эти медиатрисы проходят через фиксированные точки О и О').
в) Секущие PAB и PA'В' проходят через О и О'. В этом случае / есть точка пересечения ОТ с О'Т'. Окружность (С) в этом случае касается окружности (О) внутренним образом, а окружности (О') — внешним образом (черт. 169).
г) Соотношение между IO и 10'. IO -\- 10' = R + R''.
2°. Центр окружности (ABA'В). Если PAB и PA'В' перемещаются параллельно самим себе, перпендикуляры, опущенные из точек О и О' на эти прямые, не меняются; значит, точка / остается фиксированной.
587
3°. Случай, когда PAS и PAS' проходят соответственно через OuO' (черт. 170). В этом случае медиатриса отрезка AB есть перпендикуляр в точке О к OP, а медиатриса отрезка А'В' — перпендикуляр в точке О' к О'Р. Углы ЮР и 10'P — прямые, и окружность с диаметром JP проходит через О и О'.
Линия, на которой расположен центр С окружности (01РО). Окружность (0IPO') проходит через две фиксированные точки О и О'; значит, точка С лежит на медиатрисе (А) отрезка ОО'. Проекция С на ОО' есть середина /\ отрезка ОО'. Но С — середина PI, значит, если L проекция / на ОО', то /< — середина проекции HL отрезка PI. Линия, на которой остается точка /. Так как точка L фиксирована (эта точка симметрична точке H относительно середины К отрезка ОО'), то точка / расположена на прямой, проходящей через точку L перпендикулярно HL.
