Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
3°. Случай ОН = —. Ответ: радиусы (а) и (S) (черт. 160) соответственно будут
SR2
$311
4 I
их отношение равно
JL 3 '
3R R
Геометрическое место центров (а) и (3) -— параболы
с фокусом О, директрисы которых — прямые, параллельные (D) и отстоящие от (D) по ту и другую сторону на расстоянии R.
41. Будем предполагать, что R > R' (черт. 161).
Г. Окружность (ОО') касается MM'. PM = PM' = PS, значит P — середина MM'. Отрезок TP, значит, параллелен основаниям трапеции OMM'О' (значит,
? _L_ f^'
перпендикулярен AlAi') и равен их полусумме: TP= —-— == ТО = ТО'. Отсюда
следует, что окружность с центром Т, которая проходит через О и О', проходит іакже и через P и касается MM'.
Значения SS' и ST. ST ^ —у- , SS' = ^ZTfr •
2°. Свойство точек Л, А', М, M'. Имеем ? SAAl = SAID и ?SMP = =--¦ L A'AVS' (гомотетия с центром S'). Значит, / SAM + /_ A'M'Al = т. и AA'MM'— вписанный четырехугольник. Центр ш окружности (12), описанной вокруг этого
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
581
четырехугольника, есть точка пересечения медиатрис отрезков MM' и AA'. Первая медиатриса есть ТР. Для того чтобы определить основание а второй медиатрисы, можно заметить, что отрезок AA' получается из отрезка ОО' в результате гомотетии (S, 2) и, значит, середина а отрезка AA' получается из середины T отрезка ОО' при этой гомотетии, значит точка а симметрична точке S относительно Т. Медиатриса отрезка AA' есть прямая, симметричная (D) относительно Т. Точка, в которой она пересекает TP [т. е. центр окружности (12)], есть поэтому точка, симметричная точке P по отношению к Ту т. е. диаметрально противоположная точке P на окружности с диаметром ОО'. Прямые (D), AM и A'M' — радикальные оси окружностей (С), (С) и (9.), взятых попарно; следовательно, они пересекаются в одной точке P' (черт. 162).
Свойство точек S'. Р, Г, ?. Так как точка <о симметрична точке P относительно T1 то ее проекция 3 на (D) симметрична точке P относительно S. Четырехугольник S'PTfj сложен, таким образом, из двух равных прямоугольных треугольников, имеющих общую гипотенузу, и, значит, вокруг него можно описать окружность.
Свойство точек P' a, j
Черт. 162.
SS' ¦ ST = S3 . SP. : S? • 2SA Так как
На основании предыдущего Умножая обе части этого равенства на 2, получим SS' •Sa = SMP'M' — прямоугольник, то 2SP = SP' и, значит, S~S' - Sa = S$ . SP'. Отсюда следует, что четыре точки S', P', о., ? расположены на одной окружности.
3°. Изучение прямой NN'. Пусть NnN' — вторые точки пересечения прямых SM ,и SM' с окружностью (12) и р — степень точки 5 относительно этой окружности. В инверсии (S1 р) окружность, описанная вокруг прямоугольника SMP'Ai', преобразуется в прямую NN'. Эта прямая будет перпендикулярна прямой, соединяющей центр инверсии с центром этой окружности; значит, она перпендикулярна (D). Пусть Я—точка, в которой прямая NN' пересекает (D); точка__Я' есть образ точки // в инверсии (S1 р) и, значит, SII-SP' = р; далее, P = SA-SA' = - SP'2 и, значит, SH = - SP' = — 2SP) итак, SH = 2SP.
Свойство прямой S'P'. Выражая двумя способами степень точки S' относительно окружности, описанной вокруг прямоугольника SMP'M', получим S'Ai - S'M' = S'S2; с другой стороны, точка P' расположена на радикальной оси окружностей (С) и (12) и, значит, P'М-Р'А = P'S2. Каждое из этих равенств выражает также и то, что точки S' и P' имеют одну и ту же степень относительно (12) и S. Значит, S'P' есть радикальная ось (12) и S.
4°. Геометрическое место w. Пусть ОО' фиксирована и S фиксирована, r и r' изменяются так, что r — r' = d = const. Тогда Sa = d\ точка а, значит, также фиксирована; следовательно, точка <о расположена постоянно на перпендикуляре (А) к ОО' в точке а. Чтобы уточнить геометрическое место точки oj, заметим, что ceo) = SP = Yrr' = Yr' (r' ~r d). Если r' изменяется от О до со, то аю также изменяется от О до оо и, значит, точка оз описывает прямую (А) в целом.
Огибающая прямых MM'. Точка T фиксирована, ?_ TPAi = 90э изменяется так, что одна его сторона проходит через фиксированную точку T1 а вершина скользит по фиксированной прямой; значит, прямая PAi (или AlAV) касается параболы с фокусом T1 для которой (D) — касательная в вершине. Но точка P описывает прямую (D) в целом [как ш описывает в целом (А)]; значит, прямая AlAV может занимать положение любой касательной к указанной параболе.
Огибающая прямых SP'. Так как Sa = 2ST и SP' = 2SP, то из подобия треугольников SPT и S'SP следует подобие треугольников PSa и S SP'. Значит, аР _]_ S'P'. Проведем через точку P' прямую, параллельную аР, и пусть она пересечет 00' в точке F. Эта прямая перпендикулярна S'P', и точка P фиксирована, так как SF = 2Sa = 2d. Прямой угол перемещается так, что одна из его сторон проходит через фиксированную точку F1 а вершина скользит по фиксированной прямой (D). Значит, прямая S'P' касается параболы с фокусом F, причем касательной в вершине является прямая (D). Точка P' описывает (как и P) прямую (D) в целом; значит, прямая S'P' может совпадать с любой касательной к указанной параболе.
