Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
582 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
42. 1°. Угол А острый. Имеем (черт. 163) а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos А, Ь2 + с2 —
d2
— a2 = d2\ отсюда cos А = -щ^ > 0; отсюда, между прочим, следует, что прямая ВС
не может пересекать отрезок OA.
Выражение MA2 + МО2 постоянно. Пусть ABC — какой-нибудь треугольник, вписанный в окружность (О); тогда, обозначая через M середину стороны ВС,
будем иметь Ь2 4- с2 = 2ma2 -\- , откуда MA2 = ~ + — ^ и МО2 = OB2—MB2 =
= /?2 — -- . Складывая, получим Af Л2 + AfO2:
Я2,
а для треугольника (T) —
d2
MA2 + AlO2 = ~ + R2.
О)
(2)
Геометрическое место точек Af, Пусть / — середина OA; рассматривая треугольник ОМА, будем иметь
MA2 + МО2 = 2im2 + -^2- (3)
или на основании (2) 2/Af2 -
R2 d2
~2~ ~ 2 ^2' значит»
r2 4- d2
(4)
Таким образом, точка Af всегда находится на окружности (Г) с центром / и радиусом і Yr2 + d2. Ясно, что при этом точка M должна находиться и внутри
окружности (О).
Построение треугольника (T), если задана точка Af. Точка Af должна удовлетворять только что сформулированным требованиям. Проведем через нее прямую, перпендикулярную OAf, и пусть эта прямая пересечет окружность (О) в точках С и В. Точка Af будет серединой отрезка ВС, и легко доказать, что полученный треугольник ABC удовлетворяет условию вопроса. В самом деле, в полученном треугольнике ABC соотношения (1) и (3) выполнены [только потому, что точки В и С лежат на окружности (О)]; выполнено и соотношение (4), так как точка M взята на окружности (г). Из (1), (3) и (4) находим а2 -\- Ь2 — с2 = d2t т. е. ABC — действительно треугольник (T). Это исследование позволяет высказать следующее утверждение: геометрическое место точек Af — середин сторон ВС треугольников (T), есть дуга окружности (Г), расположенная внутри (О).
Существование (T). Условие существования треугольников (T) заключается в том, чтобы окружность (г) имела точки, заклю-
_ Yd2 + r2 ^ 3r ченные внутри (О), т. е. -~-< -тр
или d < 2 Y 2 r.
Положение точек пересечения (Г) и DD'.
Радиус -^Yd2 + r2 окружности (г) всегда больше 2" 5 значит, (Г) и DD' всегда пересекаются в двух точках T и T'; леї ко
находим ОГ= у. Точки T и T' легко построить на DD', а значит легко построить
и (Г). В частном случае d = 2r точки TwT' совпадают соответственно с D и D'. Мы будем предполагать, что это имеет место во всем дальнейшем (черт. 164).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 583
2°. Огибающая ВС. Прямой угол OMB таков, что его вершина M все время расположена на окружности (Г), а одна из сторон проходит через фиксированную точку О; значит, другая сторона ВС постоянно касается эллипса с фокусом O1 для которого (Г) — главная окружность. Второй фокус этого эллипса есть точка А. Для того чтобы построить точку прикосновения ВС с огибающей, надо построить точку Af1, симметричную точке О относительно ВС; тогда прямая AM1 пересечет ВС в искомой точке Q. Точка M1 гомотетична точке M в гомотетии (O1 2); точка M описывает
дугу DD', и, значит, точка M1 описывает дугу D1D^1 полученную из DD' гомотетией (0, 2). Полупрямая AM1 находится, таким образом, все время внутри угла DXAD[. Этим крайним положениям Mx (т. е. точкам D1 и D^ соответствуют крайние положения точки Q — концы 3 и W малой оси эллипса. Точка Q описывает, таким образом, половину эллипса, расположенную слева от его малой оси; этот полуэллипс и есть огибающая ВС.
Построение треугольника (T)1 если задана (О) и или вершина В, или вершина С. Построение треугольника (T) в этом случае сводится к построению касательных, проведенных из точки В (или С) к указанному полуэллипсу. Это возможно прежде всего, если точка В (или С) расположена вне указанного эллипса. Кроме того, точка В (или С) должна лежать на части окружности (О), лежащей вне эллипса и между касательными к эллипсу, проведенными к нему в точках ? и й'. Тогда касательные из В (или С) к указанному эллипсу коснутся его в точках, расположенных влево от S1V. Значит, точка В (и С) может описывать лишь дугу B0EC0 окружности (О), лежащую вне эллипса. Для построения границ этой дуги достаточно заметить, что, с одной стороны, известна сумма расстояний от любой из этих границ B0 и C0 до фокусов Ou А — это двойной радиус 2р окружности (Г); с другой стороны, их расстояние до О равно R; достаточно, таким образом, провести окружность радиуса 2р — Rc центром А.
Построение треугольников (T) прямоугольных в В или С. Эти треугольники имеют вершину в точке Е, диаметрально противоположной А, на окружности (О). Задача — частный случай предыдущей; искомые треугольники имеют третьей вершиной D или D'.
З9. Геометрическое место точек А\ Ny Р. Основание Аг высоты, опущенной из А на сторону ВС, есть проекция точки А на прямую ВС, касающуюся эллипса с фокусом А, для которого (Г) — главная окружность, и, значит, А\ лежит па окружности (Г). Точка А' описывает часть этой окружности; расположенную влево от прямой, проходящей через точку А параллельно DD'. Точки N и P—сере-
