Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
55. Соединим HcCn В'. Прямые CHnCI симметричны относительно AB; значит, Л? —одна из биссектрис угла С треугольника HB'С; аналогично и прямая AC —одна из биссектрис угла В' того же треугольника HB'С. Так как AB и AC пересекаются в А, то АН—биссектриса угла H треугольника HB'С; другая биссектриса этого угла, следовательно, есть ВС, но тогда BB' и CC — вторые биссектрисы углов В' и С треугольника HB'С, а значит BB' и CC — соответственно перпендикулярны AC и AB.
56. 1°. Треугольники ABQ, DCQ, ACP и DBP равнобедренные, ?ВАС = 45Г и т. д.
2°. Высота треугольника APD. AC и DB — две высоты; значит, PQ — третья высота.
3°. Значения ВС, BD, SQ, QD и CD. ВС = Я ^2, BD = R V~3, BQ = AB = R,
QD = R (Y 3 - 1), CD = 3 (V 6 - V 2).
4°. Геометрическое место точек PnQ. Треугольник BDP — равнобедренный прямоугольный (/_ BPD = 45е), значит, P лежит на дуге, для которой AD — хорда и которая вмещает угол 45°. Пусть E — середина данной полуокружности. Тогда точка P лежит на дуге радиуса EA с центром Е. Из этой окружности надо взять лишь часть PiP2, высекаемую из нее касательными к полуокружности, проведенными в точках AnD (черт. 171). Так как ?_ BQC= 135°, то точка Q
Черт. 171. Черт. 172.
списывает дугу AQD, равную дуге P1P2. Длина отрезка PQ постоянна, он перемещается параллельно самому себе, его длина равна расстоянию между центрами дуг PJ\ и AQD, т. е. 2R.
57. 1°. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника OAS. Пусть С —центр окружности, описанной вокруг треугольника О AB, тогда ? ACB = 60°; значит, АС = АВ = а. Радиус описанной окружности равен а.
Геометрическое место точек С. Так как OC = а, то точка С лежит па окружности радиуса а с центром О. Однако точка С может занимать на этой окружности лишь все полежения на дуге C1CC2, которая высекается из этой окружности лучами Ox' и Oy', перпендикулярными Ox и Oy (черт. 172).
2°. Окружность, описанная вокруг четырехугольника ABAS'. Tc к как ?_ AB'В = /I AA'В = 90°, то точки А' и В' лежат на окружности с диаметром AB. Следовательно, вокруг четырехугольника A'BAB' можно описать окружность диаметром AB = а. Угол A'AB' в сумме с 30° дает 90J, значит, ? A'AB' =60°; значит, А'В' — сторона правильного вписанного в окружность треугольника; если
радиус окружности равен -j , то AB = —^—.
588
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
3°. Геометрическое место точек С, Мы перейдем от С к С, если AB • значит, геометрическое место точек С есть дуга
заменим на А 'В' =
2
C[Cf С'2 окружности с центром О и радиусом
iY з
ограниченная лучами Ox'
и Oy', соответственно перпендикулярными Ox и Oy.
Геометрическое место ортоцентров Я треугольника ОДА. Пусть H—точка пересечения AA' и BB' — это и есть ортоцентр треугольника О AB. Так как AA'
и BB' соответственно перпендикулярны в точках А' и В' к OA' и OB', то эти две высоты пересекаются на окружности, описанной вокруг треугольника OA'В7 в точке Н, диаметрально противоположной О. Точка H из точки С' получается в результате гомотетии (О, 2); значит, геометрическое место точек H есть дуга H1HH2 окружности с центром О и радиусом a Y 3> ограниченная лучами Ox' и Oy'.
58. Г. Вокруг четырехугольника BDEC можно описать окружность. Имеем AB • AD = AC • AE = = AHK
2°. Фиксированные точки, через которые проходит окружность {BDEC). Пусть О — центр этой окружности, P—точка пересечения диагоналей прямоугольника ADНЕ, I и Q — ортогональные проекции точки О на ВС и АН. Медиана Al и высота АН антипараллельны относительно AB и AC (/, BAH= = C= ^IAC). Аналогично DE и ВС антипараллельны относительно AB и AC (ибо вокруг четырехугольника BCED можно описать окружность). Так как АН ± ВС, то Al J_ DE. Кроме того, OP ± DE. Значит, OP \\ Al и, конечно, АР\\Ю. Значит, четырехугольник APOl — параллелограмм и (черт. 173) AP = IO = HQ; следовательно,
AQ =АН и потому точка Q фиксирована. Пусть M и N — точки пересечения
окружности (BDEC) с АН. Имеем: AM - AN = AB • AD = АН2 = A'Q2 — QM2;
следовательно, QM* = QN2 = AQ2—АН2
о _
_ 5__
АН2 = -j- АН2; следовательно,
QM = QN = ~— АН, a M и //—фиксированные точки прямой АН.
59. Предварительное замечание. AC и ВС — биссектрисы углов, дополнительных к BAx и Л?у; они, следовательно, перпендикулярны, и треугольник ABC прямоугольный (/_ ACB = 90е).
Г. Построение (С), если известна прямая (Д). СО — медиана треугольника АСВ; значит, ОС = -^- AB = а и, значит, на прямой (а) имеется два положения для точки С на расстоянии а от О (черт. 174).
2°. Геометрическое место точек С. Так как ОС = а, то геометрическое место точек С при условии, что прямая (а) вращается вокруг О, есть окружность (О) с диаметром ЛБ.
3°. Построение (С), если известен радиус R окружности. Центр С, с одной
стороны, лежит на окружности (О), с другой стороны — на прямых, параллельных AB и отстоящих от AB на расстоянии R; значит, С — точка пересечения этой окружности с этими параллелями.
Исследование. Если R < а, то параллели, о которых говорилось выше, пересекают окружность (О) каждая в двух точках; имеется четыре решения. Если R = а, то параллели касаются (О) в точках / и J—концах диаметра (О), перпендикулярного AB; имеется только два решения. Если R>a — решений нет.
