Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 274

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 268 269 270 271 272 273 < 274 > 275 276 277 278 279 280 .. 381 >> Следующая


— у л€Ж и Осо = 0/<о + a0^ = у -f- у = у-. В инверсии (0,302) окружность,

описанная вокруг треугольника Огпп, преобразуется в прямую MN. Так как эта окружность (Отп) проходит через фиксированную точку со, то и прямая MN про-

_ _ 630

ходит через фиксированную точку 0. такую, что Осо . ОУ = 302, откуда Oil = — мм.

6°. Огибающая прямых AD и ВС. В п. 4° мы видели, что геометрическое место точек M и N есть окружность (F) с диаметром PP'; таким образом, AD и ВС — вторые стороны прямых углов ОМА и ONB, первые стороны которых проходят через фиксированную точку О, а вершины описывают окружность (F). Так как абсцисса центра этой окружности равна 126 мм, а радиус равен 84 мм, то точка О лежит вне окружности (F). Огибающая AD и ВС — гипербола с фокусом О, для которой окружность (F) является главной.

61. Г. Построение (С). Квадрат расстояния dx от центра (С) до Ox определяется формулой d\ = R\ -f- R2, а квадрат расстояния d2 от центра (С) до O2 определяется формулой d22 = R?2 ~\- R2. Проведем в произвольной точке A1 окружности (C1) касательную и отложим на ней отрезок A1T1 = R. Центр окружности (С) будет лежать на окружности (O1) с центром O1 и радиусом O1T1; аналогично, в произвольной точке A2 окружности (C2) проведем касательную и отложим на на ней отрезок ^2T2 = R. Центр окружности (С) будет лежать на окружности (H2) с центром O2 и радиусом O2T2. Если окружности (U1) и (H2) пересекаются или касаются, их общая точка — центр окружности (С). Решения нет, если окружности (U1) и (H2) не пересекаются.

Геометрическое место центров окружности (С). Центр окружности (С) имеет одну и ту же степень R2 относительно окружностей (C1) и (C2) и, значит, лежит на радикальной оси этих окружностей. С другой стороны, так как окружности (C1) и (C2) лежат одна вне другой, все точки их радикальной оси лежат вне этих окружностей и, значит, каждая точка радикальной оси (А) окружностей (C1) и (C2) может служить центром одной из окружностей (С). Итак, геометрическое место центров окружностей (С), ортогональных окружностям (C1) и (C2), есть вся радикальная ось (А) двух последних окружностей.

Фиксированные точки F и F'. Окружности (С) с центрами на (А) ортогональны окружностям (C1) и (C2) и, значит, образуют пучок, сопряженный с пучком, определяемым окружностями (C1) и (C2). Эти окружности (С) образуют, следовательно, пучок окружностей, проходящих через предельные точки пучка, определяемого окружностями (C1) и (C2). Для построения предельных точек F и F' пучка [(C1), (C2)] достаточно построить окружность (У), ортогональную (C1) и (C2) и имеющую центром О — точку пересечения радикальной оси (А) окружностей (Cj) и (C2) с их линией центров. Эти точки F и F' сопряжены и относительно (C1) и относительно (C2).

2°. а) Точки M и М\ сопряженные одновременно и относительно (C1) и относительно (C2). Пусть дана какая-нибудь точка М. Геометрическое место точек, сопряженных с точкой M относительно окружности (C1), есть поляра точки M относительно (C1), а именно — это прямая, перпендикулярная OxM; аналогично, геометрическое место точек, сопряженных точке M относительно окружности (C2), есть поляра точки M относительно (C2) — это прямая, перпендикулярная O2M. Значит, если точка M не лежит на прямой OjO2, то эти поляры пересекаются, причем в единственной точке %М', которая будет сопряжена точке M и относительно окружности (C1) и относительно окружности (C2). Если точка M лежит

Ответы. Планиметрия, Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ

591

на прямой O1O2, две указанные поляры, вообще говоря, параллельны и не имеют общей точки. Однако надо еще рассмотреть точки F и F', так как в этом случае указанные поляры совпадают и, значит, точке F1 соответствуют все точки прямой, проходящей через F' перпендикулярно O1O2, а с точкой F' сопряжены все точки прямой, проходящей через F перпендикулярно O1O2. Итак, если точка M не лежит на прямой O1O2, ей всегда соответствует и притом только одна точка Ai', гармонически сопряженная относительно каждой из окружностей (C1) и (C2).

б) Построение M'. Если Al не лежит на прямой O1O2, то через три точки F, F' и M можно провести и притом только одну окружность. Точка Al' — это точка, диаметрально противоположная точке M этой окружности. Заметим, что ? MFM' ¦ — ? MF'M' = 90°, поэтому точка M' является также точкой пересечения прямой, перпендикулярной MF в точке F1 с прямой, перпендикулярной MF' в точке F'

в) Геометрическое место точек M и M', если MM' имеет данную длину L Окружность (MFF'M') ортогональна окружностям (Cj) и (C2) и имеет диаметр MM' = L На основании 1° можно построить лишь две окружности (симметричные относительно OjO2), ортогональные (C1) и (C2) и имеющие данный радиус

~2 — эти две окружности и образуют геометрическое место точек M и M'.

3°. Геометрическое место точек M' при условии, что точка M описывает прямую (D), перпендикулярную OjO2. Пусть H—точка пересечения (D) и O1O2 (черт. 176). Так как MM' — диаметр окружности (C)1 то середина / отрезка MM' лежит на радикальной оси (А) окружностей (C1) и (C2). Следовательно, ортогональные проекции H и H' точек M и AV на OjO2 симметричны относительно
Предыдущая << 1 .. 268 269 270 271 272 273 < 274 > 275 276 277 278 279 280 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed