Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
L-} , -L-—, —р-1-\ 17. Если а = b = c = Q,
\ — афЬфс а — Ьфс а-\-Ь — с)
(єХ, є2Х, X), где X — любое число, а є— любое из значений у \\ если хотя бы одно из чисел а, Ь или с (например, с) не равно нулю, но а2 — Ьс = Ь2 — са = с2 — ab = 0,
/ є*и--і/ Зє2*2 гх ,/ 3^x~2\ то все решения системы: \х,--± у се---—,--+ |/ се--^—I,
где є — любое из значений уТ, а для радикала |/"се —3г * берется в выражениях для у и -г одно и то же значение; если а3 ф Ь3 фс3 — ?abc = Q, но хотя бы одно из чисел а2 — be, Ь2 — са, с2 — ab отлично от нуля, то система не имеет решений; если, наконец, а3 ф Ь3 ф с3 — ЗаЬс Ф 0, то система имеет два решения:
/ а2 — Ьс ' Ь2 — са с' — ab \
\Уа3фЬ3фс3 — ЗаЬс ' Ya3 ф Ьъ ф с3 — ЗаЬс ' У^ф~^ ф с3 — ЗаЬс ) '
где для радикала берется любое из двух значений, но одно и то же в выражениях для х, у, z. Указание. Из данных уравнений~ следует, что сх ф ау ф bz = 0, Ьх ф су ф az = 0 и т. д. 18. Указание. Положим х = а2, у = ?2, z = у2; тогда получим ± Cy ± аа ± b§ = 0; определяя отсюда с-у = ± аа. ± 6?, первое уравнение системы запишем в виде (а ± а)2 = (? ± Ь)2 и т. д. Ответ: [(Ь ф с)2, (а — с)2, (Ь ф а)2], [(Ь — с)2, (а —с)2, (Ь — а)2], [(Ь — с)2, (афс)2, (Ь фа)2], [(Ьфс)2, (а —с)2, (Ь—а)2]; если (а ф с)2 = Ь2, то система имеет еще решения [(Ьфс)2, X2, (X — а)2], где X — любое число; если (а — с)2 = б2, то система имеет еще решения [(X ф с)2, X2, (X фа)2], где X — любое число. 19. Если а = Ь = 0, то все решения: (0, 0, X), (0, X, 0), (X, 0, 0), (X, X, X), где X — любое число; если а = 0, Ь Ф 0 или а Ф 0, b — 0, то система имеет только одно решение: (0, 0, 0); если а Ф 0, Ь Ф 0, но а2 ф ab ф
Ф Ь2 = 0, то система имеет два решения: (0, 0, 0) и |2 (а ф Ь),--~ (а ф Ь),
— -j- і-4г"1» если а Ф 0» ЬфО, а2 ф ab ф Ь2 Ф 0, то система имеет три реше-
b аф Zb ]
( а3 ф 2a2b — ab2 — b3±R ab (За3 ф 6а2Ь ф 9ab2 ф ЪЬ3 + R) ния: (0, 0, 0) и у 2 _^аЬ + Ь2) > 2 + аЬф Ь2)2
— ^^а1Ь~'а^Г^±R)) . где R = Vа6ф4аЬЬф\0а*Ь2ф\2а3Ь3ф\За2Ь*ф\0аЬЬ-]-Ь*.
2Ь (а2 ф ab ф Ь2) } 20. Если а = b = с = 0, то все решения системы: (0, X, [л), (X, 0, \х), (X, р., 0), где X и у. — любые числа; если а = Ь = 0, с Ф 0 или b = с = 0, а Ф 0, или с = а = 0, Ь Ф 0, или a 0, Ь = 0, с 0, или а Ф 0, Ь Ф 0, с = 0, или а = 0, 6 0, с Ф 0, или
а ф 0, 6 0, с 0, ~ -f -^2 ф -^2- = 0, то все решения системы: (X, 0, 0), (0, X, 0), (0, 0, X), где X —любое число; если а Ф 0, Ь Ф 0, с Ф 0, ~г + "р" + -^- ^ °» но
(ж + ^)(^+^)(^ + ж) = 0' Т° ВСЄ РЄШЄНИЯ °ИСТеМЫ: {К °' 0)' (а Х' 0)' (0, 0, X), где X — любое число. Наконец, если а Ф 0, Ь ф 0, с Ф 0, -L- -(- ^2- _|_ _L ^ Q1
JL -j_ _L О, -L J_ ^ о, ф ~ ф 0, то все решения системы: (X, 0, 0), ос са а о
(0, X, 0), (0, 0, X), где X —любое число, и еще два решения:
, ' д» + ft*+ с2 г о? Ь2 с2 К а" + й2 ^ с»
TTT ' J_ + J_ ' J_ + J_
"• H1+Tf)' •('-Tf)'0]' К1-??)' 4,+w)'0]- «¦Е""
(— аф b ф с)(а <— b ф с)(а ф b — с) == 0, то система не имеет решений; если
Ответы. § 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
479
(— а + 6 + с) (а — 6 + с) (a + 6 — с) Ф 0, то система имеет решения: ґ-1/a —6 + с/а + 6 —сеь \V— a + 6 + c/a+X
^Ya-b + cY-a + b + cz^,
где для радикалов Y— а + b + с, Ya — 6 + с, Ya -\~Ь — с берутся фиксированные значения (любые), а єь е2, Ез принимают значения +1 и —1, причем B1B2Z3 = 1, так что для еь є2, є3 возможны следующие комбинации значений:
E1 1 1—1 —1 є2 1 —1 1 —1
E3 1-1-1 1
23. Система несовместна, если выполнено одно из следующих условий:
o = 0,
6 = 0, с ф 0;
а = 0,
6^0, с = 0;
афО,
6=0, с=0;
а = 0,
6 = 0, с = 0;
с = 0,
афЬ,
6=0,
афс,
а = 0,
сфЬ.
Если а = 0, b = с Ф 0, то все решения системы: (—a + /а2 + 6а, а — /а2 — 6а, а -)- /а2 — 6а), где а — любое число, не равное нулю; для каждого радикала берется любое из двух значений, но одно и то же в выражениях для у и z\ если 6 = 0, с = а ф 0, то все решения системы: (? — /р2 — a?, — ? + /?2 + a?, ? + /?2 — a?), где ? — любое число, не равное нулю; для каждого радикала берется любое значение, но одно и то же в выражениях для х и z. Если с = 0, а = 6 Ф 0, то все
решения системы: (7 — Yf — ^7* T + W — И — Y + Vy2 + ^yX где y — любое число не равное нулю; для каждого радикала берется любое значение, но одно и то же в выражениях для у и х. Если а Ф 0, b Ф 0, с Ф 0, (— a + 6 -f- с) (а — 6 + с) X X (а + 6— с) = 0, то система не имеет решений. Если а Ф 0, b ф O1 с Ф 0, д _j_ 6 + с) (а — 6 + с) (а + 6 — с) =7^ 0, то все решения системы:
/6УТ _Y~c Ya
'|/д_6 + сУа + 6 — с /— д + б + с/а + б — с
, g /б
Уя —6 + сіЛ-л + 6 + c 3'
VbVc t VcVa
Ya — b + cYa + b — c Y~~ л + 6 + с|/а + 6-
Va Y~b
1 +
+ с
Ya- 6 + с У — а + 6 + с
/б/с , , YcYa
.Ej
Va - 6 + с /а + 6 — с У — а + 6 + с /а + 6 -
V а/6*
Е2-г
+ C
/а — 6 + с /— а + 6 + с
