Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
х — У = 1 (1 — ху); (2)
из уравнения (1) следует, что
2а
14 д2
1-+ лгу—а: — >f = l-f-^y — Y-7--2- (1 + ху)
470 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
или
(1+ х) (I + у) = <) + Д>' (1+ху),
(1-х) (1-у) =
(1
1 +fl2 V-I V- --, V- ^ - j _|_д2
Заметим, что в решение не может входить х — 1 или у = 1, или такие хиу, что ху = — 1 (ибо если X — 1 или у = 1, то я = 1, если же ху — — 1, то знаменатель первого из уравнений равен нулю); поэтому все решения данной системы будут удовлетворять уравнению
аналогично
(!+*)(!+ у) /1+л\2. {1-X)(I-у) У 1-а)'
(I+*)(1-у) _(1±±\2
у) Vi — «6 7 "
(1-JT)(I + ;
Из(3)и(4) следует, что = ± О +g 0 + g ;
1 + а6 ,, ... а — 6 1—аб
.X2 = —т-г" • Из (1) находим: у, =--— , у2 =
(3) (4)
отсюда Xx
а + Ь
1 '1+аЬ '
. . .х, »«-WM--..... л - і , > j*— , • Эти значения х и у
я + 6 I—ab а— 6 ^
удовлетворяют и уравнению (2) (это нужно проверить, так как применяемый здесь метод решения приводил к необходимым следствиям из данной системы; в результате могли появиться пары значений х и у, не являющиеся решением данной системы). 19. Если а = 0, b Ф 0, то система несовместна; если а? = б3, но а Ф б3, то система несовместна. Если a = b = 0, то все решения (± /, X), А — любое число,
причем X=^=O и І ф V — 1; если л = 1, б3 = 1, то все решения (X, X) и ^y »
где X — любое число, отличное от 0 и любого из значений у —1; если а = — 1, б3 = — I1 то все решения (— X, X), ^— у , X^ , где X — любое число, отличное от 0
и любого из значений у — 1. Пусть теперь а3 Ф б3 и а Ф Ьъ. Тогда решения: a /2 (а — 63J + /2 (263 — а3 — a2b3)' /2 (а — b3) + У2 (б3 — 2а3 + а) \
2Ya3 —Ь3 63)-/2 (2Ь3 — а3 — а2?)
{ _
/а/2 (а \ 2Ya3 — Ь3
^ а /2 (а — b3) + У2 (2Ь3 — а3
(-
- а2Ь3)
2 Ya3 — Ь3
\У2(а—Ь3)—У2 (2b3 — а3 — а2Ь3)
(
|—д/2 (а
2Ya3
— a /2 (а — б3) + / 2@b3 — a3 — a2b3) 2 Ya3 — b3
— a /2 (a — б3) + /2 (2b3 — a3 — a2b3)
2Ya3 —b3 ^) + /2 (263 — a3 — a2b3) 2 Ya3 — b3 a /2 (a — 63) — Y2 (263 —
2 Ya3 — b3 У2 (a — b3) + /2 (63 — 2a3 + a)
2Ya
¦63
- a263)
/2 (g — 63) — /2 (63 — 2a3 + a) \ 2Ya3 — b3 J '
Y2(a — b3) — Y2(b3 — 2a3 + a) \ 2 Ya3 — 63 / '
— Y2(a—~W) + Y2(b3 — 2a3 + a) \
2 Ya3 — b3 )
— Y2(a~b3) + Y2(b3 — 2a3-\-a) \
2Ya3 —b3 )
Щг_2а? + а) \
I)3 j
. /2 (g — 63) — /2 (63 — 2a3 + a)
2/a3
¦63
2/a3
^)-]_ 2/a3-
-63
если только ни одно из значений для у не равно /—1; если же среди указанных пар чисел будут такие, для которых у6 = — 1, то эти пары чисел следует исключить (они тогда не являются решениями).
§ 7. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными J
1. (0,0,0),(1,2, 1),(2,1, 1), (l-h}/~ §, j). (l-]/" у. 1+]/ |> §)•
2. (9, З, 1), (1, 3, 9). 3. (4, 3, 5), (—4, —3, —5), (3, 4, 5), (-3, —4, -5), [1(7 + /Ш), ^(7~/ПЗ), 9], [1 (7 -/ИЗ), |(7 + /Ш), 9],.
Ответы. § 7. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 471
54
/473
[лГ 1I ^473, ,У" і /473 т/*_1 , /473 Л т/"_ 1 /473 -у + —54-+У 2 54 ' P 2+54 "1^
^ -"2+-M-6+^ ~Т--54—j '
/,V 1 , УШ. , {}' І 7Ш {f і /473 У 1 /473
\Г -2"+-54~^^ -2--54" е' ^ -!- + -ST"+/ _ 2 54 '
•,V 1 . /473 , , ЛУ І /473" \ У -2+-54-' +K ~2--54—V '
[V "2+-54~'+" "2--54-Е' _
,У 1 /473 2,{У І /473 . 1 /473 ,У" 1 /473 \ У S+ ST* + " ~2--Si-6' K -2+-54-+^ —2--Si"/'
1+/17I62+IT-I-A
2 + 54 + F 2 54
Г —2+ +" 2 54 Є' ^ 2+ 54 +^ 2 _ 54 /
/473 \
[-1(7 + 1013),1(-7 + /113),-9], ^(-7+/113),-1(7 + /113), -9]. 4. (^/85TTTl. 12]/^, 12/"?, (-^/85^,-12/"?:, — 12 |/~ 5. (1, 0, 0), (О, 1, 0), (О, О, 1). 6. (5, —2, —3), (-5, 2, 3), (2, -5, 3),
(-2, 5, -3). 7. (О, 0, 0), (-1, -1, 0), (2, 2, 6), (1, 1, -|), (7+^153 ,
1),(Zz^. i±m і). , (0,0,0), Mi(1,, 1Х (,і,_і+і), (/_,_i+j. і), (і, _1_, I5J)1 (_,_, і),
(_ I+i, I1 _і + ,).(Ц+і. 1, _!_,). 9. (1/6--1, 1/6-1, /6--1),
(_ 2./-6-1, -1/6-1. -/6-1).10.(0,0,0),(1,1, 1), (-1,1, 1),(1,-1, I)1
(1, 1, -1). 11. (1, 0, 1), (1, -1. 1), (7, 2, 1). (0. О, 0). [(1+/2)3, 1+/2", 1+/2~] [(1-/2)3, 1-/2. 1-/2].
12. (О, 4, —1), (—2, 2, —3), (2, —2, 3), (0, —4. 1),
/ 5 /3 + /Ж . —/3 + /І9 . — 4/3 + /Ї9' Л
V 3 '* 3 3 1J'
( 5 /3 — /Ї9 . — /3 — /Ї9 . — 4/3 —/Ї9 Д
V 3 3 л 3
( — 5 /3 + /Ї9 . /З + /Ї9". 4/3 + /19 Л \ 3 3 3 7'
( — 5/3 — /Ї9 . /З — /Ї9~ . 4/3-/19- А V 3 3 і' 3 7'
13 Указание. Левые части выразить через основные симметрические функции от л:, у, z. Ответ: (1. -1, 2), (1, 2, -1), (—1, 1, 2), (-1, 2. 1), (2, 1, -1), (2, -1, 1),
472 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
— 1+//3 .. ,, , ,. /14 9 7\ где е =-^ 14. (1, 2, 3), у, jj.
