Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ь
Л
б2
I 1
У ь*ф
4аь
4
1 2/5
Ь
Л
б2
T
^ 2/5"
]/ ь*ф
4а5 Ь
64 -г —
x*
468 Ответы. Алгебра, Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
11. Если 6 = 0, афО, то система несовместна; если а = 0, 6 Ф 0, то решения: (0, 0),
г b
YY2Tt1)- к-'/вд
1 + /
1 —* 1 + /
/5+2
У /5
+ 2 5
/5 /5—2
YVY_
2 I 1 + '
/5
если o = 6 = 0, то все решения: (А,
число, не равное нулю; если аь = 65 =^= 0, то данная система принимает вит X — О ' ' у — о
Система
или
хь — б5
\»4
у5__ ?5
х — Ь
— У .
у-6
X5 —
б5 =
У5-
б5 =
*4 (У — 6),
X5 —
б5 =
лгу4 — 6у4,
У5-
б5 =
х4у — Ьх*
А). ^). (К Л). (х. — Л), где X — любое
(1) (2) (3)
имеет те же решения, что и система (1) и еще решения (6, 6), (6, — 6), (— 6, 6), (6, 6/), (6, —6/), (6/, 6), (— Ы, 6). Решая систему (3) и исключая из решений указанные, получим все решения системы (1). Вычитая из первого уравнения (3)
второе, получим Xй
¦ — ху (х3 — у3) + b (х4 — у4) = 0. Отсюда: или х -.
тогда получаем решения (—6, —6), (6/, Ы), (—6/,—6/), или х4 -\- xsv 4- x2v2-{-xy3Y + у4 = _ху (Х2 + ху + y^-^b (X2 -+ у2) (л: -j- у) или (х2 + y2)(jc 4- у)2 = 6 (i2 + у2)Х X 4- у)- Отсюда X + у = 0 — это дает решения (6/, —6/) и (—6/, 6/) или л;2 _|_ у2 — о — это дает решения (—6, 6/), (—6, —6/), (6/, —6), (6/, —6), или X 4- у = 6. Тогда уравнения (2) принимают вид х -f- у = 6, л:5 -+- у5 = б5. Решая систему X -f- у = 6, л:5 + у5 = б5 [и исключая решения (6, 0), (0, 6)], получим:
"2-¦ *-2-И'-2-¦ Ь-*Т
^. Пусть,
наконец, а5 Ф б5,
причем ЬфО и а Ф 0. Тогда данная система эквивалентна следующей:
- а5 = у4 (л- -а5 = л:4 (у -
-6), •6).
(4)
Вычитая из первого уравнения второе, как и выше, получим: х — у = 0, х 4- >' = 0, ^4-^2--0, у = 6; \а\/~ » o |/~ у) (Для корня берутся все четыре значения каждый раз для л- и у — одно и то же значение), [а |/ у , —- а у ^ (еще четыре решения), [a j/" у, ^]/" у) (четыре решения), |/""у ,
— /a j/" yj (четыре решения) и при л: + у = 6 получим: л:5 — о5 = у4 (—у) или хъ -J- у5 = я5; отсюда решения:
+
б2
4
1
2/5
j/" б4
+
4я5 6
б2
1
|/ б4
+
4а5
4
2/5
6
б2
^ 2/3"
|/ б4
+
4а5 6
+
4д5
б2
- + -иіЛ
2 V 5 V
4аъ
Y-^ wf у"'
+ ¦
+
4аь b
4аъ
Ответы. § 6. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ 469
12. Если а Ф 0, два решения: (а— 6, а 4- 6), (6—а), ~ (b + a) J . Если
я — о — одно решение (—6, 6). 13. Если а2 — 2ab -f- Sb2 Ф 0, то система имеет решения: (a -j- 6, а), (6— 6, 6); если а2 — 2ab -|- 562 = 0, но а и 6 одновременно не равны нулю, то первое уравнение есть следствие второго; решением является любая пара чисел, удовлетворяющих лишь одному второму уравнению; если # = 6 = 0, то все решения системы (X, ±/X), где X — любое число. 14. Если афЬу а Ф 0, b Ф 0, то система имеет 25 решений: (azkfbzs)t где tk есть любое из пяти
значений у\ (k = 1, 2, 3, 4, 5; s = 1, 2, 3, 4, 5); если а = b ФО, то решения системы (azk,bzs)f гДе k Ф s (всего 20 решений); если а = 0, 6 0, то система имеет пять решений (0, bzk)\ если а Ф 0, 6 = 0, то система имеет пять решений (azkfi). 15. X4 + у4 = (х2 + у2)2 — 2 (ху)2 = [(лт + у)2 — 2ху]2 — 2 (ху)2. Отсюда приходим с системе, эквивалентной данной: ху = а2 — б2, [(х -j- у)2 — 2 (а2 — б2)]2 — — 2 (а2 — б2)2 = 2 (а4 + 6а262 4-б4). Ответ: (а 4 6, а — 6), (л — 6, а + 6), (— а + 6, —а — 6), (—а — 6, —а -f 6), [(л H- 6) /, (—-л + Ь) /], [(—а -|- Ь) /, (я + 6) /], [(а — 6) /, (—a — b)i]t [(—a — b)i, (a — b)i\. 16.
і / За2 , Va4J- б4 ±__-ш/ [ 2 ' |/ 4 + /2" '2 [/
/а , / За2 , /O4TT^ « , і /" За2 , /^ + бЛ
2 ' |/ 4 ]/2 2
За2 у а<
У2
За2
Va4 -t- б4 ^
4 1
Г За2
, fa4 + b^
4
+ V2 ,
Л За2
У а4 -f- />4
4
V2
За2
Уа4 + Ь*
4
Y2
з
17. Если Ь — ^аиафО, то система несовместна; если а -= 6 = 0, то решением служит любая пара чисел х, у такая, что х-{-у = а; если я = 0, b Ф 0, то система имеет одно решение (0, 0); если афО, Ьф у, то система имеет решения:
а
-2b
2b
— За
а
^2b
2b
— За
а
-2b
2b
— За
а
-2b
2b
— За
18. Если а — b — 1, то все решения (1, X)1 где X — любое число, не равное 1 и не равное —1; если а = 1, 6 = — 1, то все решения (X, 1), где X — любое число, не равное ± 1; если а = — 1, 6 = 1, то все решения (X, — 1), где X — любое число, не равное ± 1; если а = 6 = — 1, то все решения (X, — 1), где X — любое число,
не равное ± 1; если а = Ьф ± 1, то система имеет одно решение ^ ^ -\-а2 * ' ЄСЛИ
а— — Ь Ф ± \, то система имеет одно решение ^0, ^ + а2 )» если ab = lt но
а Ф ± 1, 6 Ф ± 1, то система имеет одно решение ^-j-q^r • 0^; если аб =—1,
а Ф ± 1, 6 ± 1, то система имеет одно решение (о, j ^Дд2 ); если - ^ аб ± 1, a =^= ± 1, 6 ф ± 1, то данная система эквивалентна следующей:
