Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
"° /2(/2 + 3)^ 1 /2(/2 + 3) '
где /?, г принимают значения 0, 1, 2, 3, /г (п + 3)—1. Так как должно быть
1 є
ещё выполнено соотношение -= -, а
YaJc
п Г л + з _ п Г л + 3 _ п Г /ц-З _~
l/ ^аЬс 1/ >АДбс |/ /дбе 1
jtyz f b f с Xjjlv я+з_ Xulv *
то должно быть X(xv = -А- или (Х(1\)л т-з = 1, ибо ? есть любое значение корня степени /2 + 3 из 1. Из последнего соотношения находим
LC0S я(л + 3) +'5Ш л(л + 3) J
или
(р + q + г) 2т. . . (р+ ? + /-) 2г.
cos Vjr ' 4 '—----- і sin -—--= 1;
/2 /2
значит, p + q + f равно 0 или п, или 2п и т. д. Таким образом, все решения данной системы:
п / а / 2рт. . . 2р- \
X — / - cos —, , оГ + і sm —7~^т-оч~ >
I/ уг^-^ л (л + 3) я («4 3)/
п Г Ъ ( 2q* ... 2qr. \
У==}/ (cos -^+гз)- + ^sin ТГ^ГЗГ) '
У Y abc
cos —- —-от- + / sin •
^ \— п{п+з) ^:ji" п (п +si) >
Y abc
Ответы. § 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ 475
где радикалы рассматриваются как действительные положительные числа, р% a, г принимают значения: 0, 1, 2, 3, п (л + 3)— 1, причем р + q + г должно быть равно одному из чисел 0, л, 2л, Зл, 4л, ... 44. Решение: &-ое уравнение системы можно переписать в виде (будем считать л > 2) х\ — xks — k (k + Г) s2 —
— (2*+ I)2а2 = 0, где s = x{+x2+ ...+Xn или хк = -~ ± (2k + 1) j/"—. —
S . 2& + 1 _ r~5-т—»
•=-j-±—j—У s2 — 4а2; складывая почленно эти уравнения, получаем
s = a±+A]/~—а2 0). или(2 — л) s = ЛYs2 — 4а2, где Л = ± 3 ± 5±7 ± ...
... ± (2л+ 1) (со всевозможными наборами знаков). Из (1) для выбранного набора
4а2Л2
знаков (следовательно, для фиксированного Л) находим s2 = _^_пу » если
только А2 Ф (2 — л)2 [случай А2 = (2 — п)2 возможен; пример: л = 5,(—3 — 5 +
+ 7 + 9-11)2 = (2-5)2]; в случаэ Л2^(2-л)2, s2 - 4а2 = -^^0^,
пг-о-л-9 2а (2 —л) 2Ла аЛ ±(2k +1) а (2—л)
Vs2 — 4а2 = -7:—v - и значит s = __ дгь =-f ' v
|А^2_(2_^)2 /Л2— (2—л)2 /Л2 — (2 — л)2
k = l, 2, л, причем из двух знаков ± берется тот, который выбран для Л, а для радикала берется одно и то же (любое) значение. Система имеет столько решений, сколько существует значений Л = ± 3 ± 5 ± 7 ± ... ± (2л + 1) таких, что Л2 ф (2 — л)2.
§ 8. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными, содержащие параметры
1. Если 62 + с2^=а2, с2 + а2фЬ2, а2 + Ь2фс2, то система имеет два решения:
• Y'(b2 + с2 — а2) (с2 + a2 — b2) (а2 + Ь2 — с2) У(Ъ2 + с2 — а2) (с2 + а2 — b2) (а2 + Ь2 — с2)
(б2 + с2 — а2) У 2 ' (с2 + а2 — b2) /2
У(62 + С2 fl2) (С2 + д2 62) (д2 + б2 — С2) '
(а2 + б2 — с2) /2~
причем во всех выражениях берется одно и то же значение радикала; если a2 + b2 = с2, но а Ф 0 и Ь ф 0 — система не имеет решений; если a2 + b2 = с2,
а = О, b Ф 0, то решением служит тройка чисел ^ О, —, X^, где X — любое число,
не равное 0; если a2 + b2 = с2, а 0, 6 = 0, то решением служит тройка чисел
(а2 \
—, 0, Xj, где X — любое число, не равное 0; аналогичны выводы в случае
Ь2 + с2 = а2 и с2 + а2 = Ь2\ если a = b = с = 0, то решениями служат тройки чисел (X, 0, 0), (0, X, 0), (0, 0, X), где X— любое число. 2. Решение. Если дана система уравнений вида
fx (х, у, z) = a, f2(x,y>z) = b, Л (х, у, z) = с, (1)
то следующая система уравнений:
/і+/2 — /з==л + 6 —с,
/і-/2+/з==л-* + С (2)
— /і +Л +/з = — Л + 6 + с,
будет эквивалентна системе (1). Для заданной системы уравнения (2) принимают вид
X2 + (у — г)2 + у2 + (X — z)2 — z2 — (x — y)2 = a + b — c, X2 + (У — z)2 — у2 — (х — z)2 + z2 + {x — y)2 = a — b + c, — л'2 — (у — Z)2 + у2 + (х — Z)2 + z2 + (X — у)2 = —a + b + с,
или
(х + у — z)2 = а + 6 — с, (x — y-f-z)2 = a — b + c, (—х + у + z)2 = — a +b + с. Эта система эквивалентна следующей:
X + у — Z= S1 У a + b — с,
х —у+ Z = в2 уа — Ъ + с, (3)
— л: + у + г = е3 У"— а + Ь + с,
476 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
где єь в2, ?з принимают значения +1 и —1, а под каждым выражением Y а + Ь — с, У а — b + с, Y—а + Ь + с понимается любое из двух значений квадратных радикалов. Система (3) при фиксированных значениях вь в2, ?з имеет единственное решение:
X = ~ (в j Yа + Ь — с + є2 Vа — b + с),
у = I (b1 + + b3 /-я + 6 + c), (4)
г = Y (е2 У + c + C3 У—fl + ft + c).
3. Если a 0, 6^0, сфО, — 1+ JL+ 1^0, - — — + -?=0, 1+1 — 1=^0, то система имеет два решения (соответственно двум значениям радикала):
-1 + 1+1.
a ^ Ь ^ с
_i^(-M+!)(M+J)(M-J) V i(-i+i4)d-i+№+i-D'
а ^ b
Система не имеет решений, если а = 0, b Ф 0, с Ф 0, или a =^= 0, b Ф 0, с = 0, или а 0, 6 = 0, с 0, или а = 6 = 0, с 0, или 6 = с = 0, а^О, или с = а = О, 6 0; если а = Ь = с = 0, то решениями являются тройки чисел: (О, X, ja), (X, 0, (х), (X, -л, 0), где X 0, fx О, X + їх ф 0. Пусть теперь а ф О, 6^0, с 0, но
