Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
15. (2 + //J, 2-//I), (2-//"J, 2 + //I).
[|(-2+ /Fi /" 1+4/5) , 4 (-2 + /5-Т /" 1 + 4/5-)] ,
[i(-2-Vb±i/'4VS-l), |(-2-/5-ф/|А 4/5--1)].
16. Указание. Положить у -}~ .г = a, + Jt = 3, х + у = Y- Ответ: (0, 0, 0) (0,0,3), (0,2,0), (1,0,0), , —А-). 17. (О, 0, 0), (-1, -2. 3),
/ 13 13 39 \ 10 .. D
(— -g-,--щ , -JQ- J . 18. У к а з а н и е. Ввести еще одно неизвестное и = х-\-у—г.
Ответ: !),(!,
/ 39 1 1 \ / 39 1 1 \
19, \ УЇ53 ' /Ї53 ' /Ї53/ 1/153" /153 ' /Ї53 ]' (1, I5 -1), (-1, -1, 1),
(+ /П (/883 — 29) _ 2/ГГ + /ЇТ__\
V /1980 — 64/883 ' /І980 — 64/W / 1980 — 64 /Ш/ ' Л/П (- 29 —/883) 2/ГГ + /ТТ \
V /1980 + 64/^ ' + ]/l980-f 64/883 ' /і980 + 64/883"/
20. Указание. Сложить все данные уравнения, затем из первого уравнения вычесть второе, из второго третье, из третьего первое и воспользоваться тождеством (у — г)2 + (2 — х)2 + (х — у)2 = 2 [jc2 + у2 -j- z2 — (у* + zx 4- *у)]; тогда
легко определить л:2 -f у2 -f z2 и yz -j- zx -\- ху; ответ: (~^=» » — ;
('Ts-~7Т- TsY <<• 1 2)- ("4' -3' -2)' 2|- "' "-2'-"
(-1, 1. 2), (2, 1, -1), (—1. 2, 1), (2, —1. 1)- 22. (1, 2. 3). (2, 1, 3), (з, 6, 1) (б. 3. 1), (1, 3, 2). (3. 1. 2). (2, 6, 1), (б. 2, I). 23. (l. 2. ^), (і. ±, 2) (2. , 1). (2, ' , ,). (1, , 2). (> , 2. ,). 24. (•». J». Jf)
- (i - І) ¦» ($ • ? • S) ¦ »• (I 4 f5" T ¦)
. = ± ,. .= ± ,. 23. . J1. J=). (-^. -^, -І). » «4. 5. 6),
(«¦"I)-»- (..3.1). (I+. 3).(,, 1).(3.1.,).(1.3,,)
, 1, 3^. 31. Выразить х, у и z через xyz. Ответ: (0, 0, 0), (—-g-, 3, — (4,-3.,). 32. «0,0.0,. 33. (,,1, 1). (l-l. -1), (-,. і, -і)
(—1, (\ 0, 0), (0, К 0), (0, 0, l)t где X— любое число,
Ответы. § 7. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
473
34. *\, (-4L, ° . * \. 35. (О, 0, 0), (1, -1, 2).
V/15 /15 /15/ V /15 /15 /15/ '
36. (2, 1, 3), (—2, —11 3), (2,-1, —3), (—2, 1, —3). (X, 0, 0), (О, X, 0), (О, О, X),
где X —любое число. 37. (2, 3, /<Г). (2, /Зє, /9є2), (2, /з~е2, /9 є),
(2е, f 9в2), (2в2, /з; f 9"е), (2е. /Зг2, f 9"), (2е2, /з"е, f 9), (?, ^3., Ke),
^f-). !• f!••)• -ff. f!-).
/4«). k*. KT.*. fsT.O, (j/7" ^2. I ^2. ~\T \*). 38. (2.-3.4),
(2, 3, -4), (-2, 3, 4), [4(1 + ' V'T). 1 + ' У7, 2(1 + //7)] , [4(1-//7).
1 —//7, 2(1-//7)]. 39. (10, 8, 2, 5). 40. Указан и е. Из данных уравнений
нетрудно определить основные симметричные функции от четырех переменных X1
гт ло о /\ . 3 4-/5 3 — /5\ у, г, и. Данная система имеет 48 решении: yi, —і, -~—, -J-—J9
I . 3-/5 3 + /5\ /, 3-/5 . 3 + /5\ , пл
становки) и еще:
(З 4- V/145+10 4 / (/5 4 //145-Ю) ), ~(з — //145+1O4 /(Y5 — //145—10)), ~ (з + //145+ 10— / (/5 + //145—ю) ), - (3 — //145+ 10 — / (/5 — //Ї45—ЇО) ) j
и т. д. (все 24 перестановки). 41. (—1г4г, —/їє, — ^\ '4 є, /fe^ , в = 1,
— 1 ± / /3 ло , 1
или s =-су-. 42. X1 — любое число, не равное нулю, X2 = -^- » хъ = *ъ
X4=—.....xu= —, X15 = X1. 43. Складывая почленно второе уравнение
X1 X1
, „а „ b
с третьим и вычитая первое, будем иметь хп =-, аналогично уп =-,
r r J xyz J xyz
с
zn = -—— . Данная система уравнений (1) эквивалентна системе:
X" = —, y*«JL, (2)
хуг ' хуг xyz v 7
В самом деле, соотношения (2) следуют из соотношений (1); обратно, если выполнены соотношения (2), то имеем
уп + гп = 1±±; J ' xyz '
аналогично выводятся второе и третье из соотношений (1). Система (2) эквивалентна такой:
474 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
В самом деле, соотношения (3) следуют из соотношений (2); обратно, если выполнены соотношения (3), то будут выполнены и соотношения (2), так как соотношения (2) — это первые три из соотношений (3). Система (3) эквивалентна следующей:
п а п b п с 1 _ 1
а xyz
у" =
Ь
xyz '
xyz
а
\)п —
b
z«- С
xyz '
У —
xyz '
хуг
или
' = e ,5)
к у Z п+з_'
Y abc
2k%
где є — любое из п + 3 значений корня степени я-f 3 из 1, т. е. ? = cos—г-о Ч-
Tl + о
+ і sin ^ _|_ з ' а k = 0, I1 2, «-)-2, Уябс рассматривается здесь как действительное положительное число. Система (5) эквивалентна следующей:
хп - аг vn==_Jl_ Z« = —__— - _— (6)
Х "* л + 3_' У л + 3_ * л+3_' xyz ~ п+3_* \o>
Y abc Ya°c Y abc Ya°c
Из первых трех уравнений этой системы находим:
X =
п Г a п г- п Г а п Г b п Г
У Ya~bc~ У Ya~bT У Yab'c У
с
/2+3 _
YaTc
где X, [х, V — корни степени п (п + 3) из 1, т. е.
A = cos —/ і Q4 + і sin----------
п(п + 3) ' /2(/2 + 3)
2?тс 2?т:
jx = COS -/ і оч + / sin ¦
/2(/2+3) Г /2(/2 + 3)
+ г sin ¦
