Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
где для шести радикалов выбраны любые фиксированные значения, а г-ь е2, ?з принимают значения, указанные в следующей таблице:
E1 1 1—1 —1 E9 1 —1 1 —1
E3 1-1-1 1
24. У к а з"а н и е. Из данных уравнений следует: ay + bz~\- сх = 0, az2 + 6х2 + + су2 = 0. Данная система эквивалентна следующей:
ay + bz + сх = 0, аг2 + 6х2 + су2=Ь, (1)
у3 — г2* = 6.
480 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
В самом деле, эти уравнения следуют из данной системы; обратно, если выполнены
эти соотношения, то из двух первых находим (в силу у3 — Z2X = Ь Ф 0; a: 6 :с =
= (л:3 — zy2): (у3 — z2x): (z3 — х2у), и так как у3 — z2x = 6 Ф 0, то х3 — zy2 = а
и z3 — х2у = с. Из первых двух соотношений (1) в случае б3 + с2а Ф 0 находим:
— Ca2JZbR —ab2±cR п лг-тт-го-~-.
X= , о-У, Z =—го—і—ъ—, где R = Y- a3b — b3c — с3а, используя же
б3 + с2а Ь6 + с2а J
последнее из уравнений, находим решения:
(— ca2 + bR) Vb
У =
У (б3 + с2а)3 — (— аб2 ± cR)2 (— ca2 + bR)
_(b3 + c2a)f~b_
f(b3 + с2а)3 — (— ab2 ± cR)2 (— ca2 + bR)
(— аб2 + cR) V~b У (б3 + с2я)3 — (— аб2 ± с/?)2 (— СО2 + 6Я)
где для кубического радикала У b и кубического радикала
У (б3 -\ с2а)3 — (— аб2 ± cR)2 (— ca2 + 6/?)
заберутся фиксированные значения, а є принимает все значения У 1. Это, конечно, верно, если (б3 + с2а)3 — (— ab2+cR)2 (— ca2 — bR) ф 0, (б3 + с2а)3 — (— ab2 + с#)2 X X (— ся2 + bR) Ф 0. Если эти выражения равны нулю, система не имеет решений. Если равно нулю только одно из них, то система имеет три решения, соответствующие неравному нулю из этих двух последних выражений. Если Ь3 + с2а = 0,
/ b Л зг- \ л — 1 ± /УЗ то решения системы: | — ——є, 0, У с є 1 , где е = 1, є =-^-, и в слу-
\ (f с)2 j 2
чае 8а366с3 — (с3 -f- 6а2)2 (с3 — 6а2) 6с2 Ф 0 еще три решения:
х _(с3 — 6а2) б2_є
^a3O6c3 — (с3 + 6а2)2 (с3 — 6а2) 6с2 2а63с
У8а3Ь6с3 — (с3 + Ьа2)2 (с3 — ba2) be2 (с3 + 6а2) 62с
у 8а36бс3 — (с3 + 6а2)2 (с3 — ba2) be2 __1±/|/"3
где є принимает значения- 1, -^-1— • 25. Решение: из данных уравнении
находим:
a2 -f (а + 6)2 + 62 = 2х + 2у + 2z, (1)
а2х + (a ¦+ б)2 у -f 62г = у г + zx + jcy, (2) (В)
a2*2 + (а + б)2 у2 + b2z2 = 0. (3)
Обратно: любое решение: х, у, z этой системы такое, что у Ф z, z Ф х, х Ф у есть и решение данной системы, так как уравнения системы (В) получены из уравнений данной системы (А) сначала их почленным сложением, затем сложением после предварительного умножения на х, у, z и после предварительного умножения на X2, у2, z2\ остается заметить, что yz2 -f- ху2 -f x2z — ух2 — zy2 — ¦ z2x = = (z — У) (х — z) (х— у) ф 0 (см. задачу № 27, глава IV, § 1). Вместе с тем из данных уравнений (А) следует:
,. + „і (4)
или
Z — X X — у
1 \
о,
а2(^ + ^) + ^ + Ь2(~±-- + -^-) =
\y — z Z-X J ' Z-X ' \Z — X ' x — у J 2 у — X 2ab
(у — z)(z — x) 1 z — X + (Z — X) (x — у) a(y-x) + b(y-z) = 0, (a -j- 6) у — ах — bz = 0,
(a + 6) у = ах + bz. (5)
Ответы. § 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
481
Таким образом, все решения данной системы есть все такие решения системы (В), для которых у Ф Z1 z Ф X1 х Ф у. Если а = Ь = 0, то система (В) принимает вид: х ф у + z — 0, yz ф zx + ху = 0. Все решения данной системы /—1 + //3 -1-//з'\ /—1—/>/"3 —1 + //3 \
в этом случае: ^-^-> г> -2— 2)'\2-2-* * —~~2-' */ '
где z — любое число, не равное нулю. Если а = 0, b Ф 0, то данная система не имеет решений. Если а Ф 0, ? — 0, то данная система не имеет решений. Если а Ф 0, ЬфО, то уравнение (5) при помощи (3) может быть ^записано в виде
(ах)2 ф ах • bz ф (bz)2 = 0, откуда (6) = еах, где є = ±2^ ^ ' БУдем Решать
систему (1), (5), (6), т. е. систему уравнений х ф у ф z = а2 ф ab ф b2, (а + Ь) у = = я* + 6<г = едд:. Если для двух указанных значений є мы будем иметь ?2 + 2аЬ ф + ? (а2 ф 2аЬ) Ф 0, то для этих двух значений е:
__ b (а ф Ь) (а2 фаЬф Ь2)
Ь2 ф 2ab ф є (а2 ф 2ab) і (г ф 1) (а2 фаЬф Ь2) 2ф2аЬфв(а2ф2аЬ) га (а ф Ь) (а2 ф ab ф Ь2) Ь2 ф2аЬфе (а2 ф 2ab) '
v = аЬ (*ф1)(а2фаЬфЬ2)
> Ь2ф2аЬфг(а2ф2аЬ) ' К }
Если для одного значения г выражение Ь2 ф 2аb ф є (а2 ф 2ab) = 0, а для другого— это выражение не равно нулю, то система (1), (5), (б) будет иметь лишь одно решение соответственно тому значению є, для которого Ь2 ф 2аЬ ф ф є (а2 + 2аЬ) Ф 0. Если, наконец, для обоих аначений є выражение Ь2 + 2аЬ ф ф г(а2ф2аЬ) = 01 то система (1), (5), (6), а значит и данная, не имеет решений. Решения (7) системы (1), (5), (6) будут решениями данной системы, если только для значений xf у, Z1 определенных формулами (7), будут выполнены неравенства у Ф z, z ф X1 X ф у, X + у + z Ф 0. В самом деле, (7) есть решение системы (1), (5), (6), но из (5) и (6) следует (3); из (5) следует (в силу z Ф у, х Ф Z1 у ф X)1 что
_^ + (а±ЬУ+_Ь^^0 (4)
Система же (1), (3), (4) эквивалентна данной, так как (см. задачу № 27, глава IV, § 1):
