Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 206

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 200 201 202 203 204 205 < 206 > 207 208 209 210 211 212 .. 381 >> Следующая


- j- (* +^ + ** =Q> 2х2 + (а + 6)х + 2д2 + я6 + 262=0.

Отсюда, в случае 2а2 + ab + 262 0, Зя2 + 262 0 уравнение имеет два корня: х = ^-(— a — b ± Y-ISa2 — ЬаЬ — 1562) (1). Если 2а2+ ab +262 =0, то данное урав-

д + ^ і « t ґ\ , і

нение имеет корень X =--^— при условии, что а + Ь ф0 и а Ф Ь\ если же

а + Ь = 0 или я — 6=0, то это значение х не является корнем данного уравнения. Если За2 + 2Ь2 =0, то данное уравнение вместо двух корней (1) имеет один корень

X = й ПРИ Условии» что афЬ,а + Ьф0 и За — b ф0; если же (а2 — б2) X

X (За — Ь) = 0, то это значение х не является корнем. Наконец, если За2 + 2Ь2 = 0,

о /1ч b—а

то вместо двух корней (I) данное уравнение имеет один корень х = —г>— » если

b ф а, ЗЬ — а Ф 0, а + b Ф 0; если же (л2 — Ь2) (ЗЬ — а) = 0, то это значение х не является корнем данного уравнения. 44.

X7 — ах+ a2 x2 — bx + Ь2 х2 — сх + с2 3 (х — а)(х — Ь) (х — с) ? = Q (X + а)2 (X + Ь)2 ' (X + с)2 + 2 (X + а) (х + b) (х + с) 2

,_ Зах l_ ЗЬх , Зсх 3 (х — а) (х — Ь) (х — с) 3 0

Th1O)5" "(•* + ^)2 С* + О2 2" ~(х + a) (X + b) (X + с) ~~~2~~ '

L — Д) (X — 6) (x — с) , ! г д , Ь с л ^

2 (x + a) (X + b) (X + с) "і" 2 L (* + д)2 Ґ (л: + 6)2 ^ (х + с)2 J ' x3 + (bc + ca+ ab) х а(х + b)2(x + с)2 + b(x + а)2(х + с)2 + с (х + а)2(х + Ь)2 (x + a)(x + b)(x + c) Х (х + а)2(х + Ь)2(х + с)2

[х3 + (bc + ca + ab) х] (х + а) (х + Ь) (х + с) — ах (х2 + bx + сх + be)2 (X + a)2 (X + Ь)2 (X + с)2 Ьх (х2 + сх + ах + ас)2 + сх (х2 + ах + bx + ab)2

(x + а)2 (х + Ь)2 (х + с)2

¦0,

2 х* — 2(Ьс + са + ab) х2 — Sabcx + а2Ь2 + Ь2с2 + с2а2 — 2а2Ьс — 2Ь2са — 2с2аЬ * (X + a)2 (X + Ь)2 (X + с)2 '

Числитель преобразуем по методу Феррари (этот метод заключается в том, что целую рациональную функцию четвертой степени представляют как разность квадратов целых рациональных функций второй степени; эта задача приводит,

Ответы. § 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

463

вообще говоря, к решению уравнения третьей степени; здесь дано искусственное преобразование):

[х2 — (—Ьс + са + ab)]2 — АЬсх2 — Sabcx — Aa2bc = [х2 — (—bc + ca + ab)]2 — — Uc (X2 + 2ах + а2) = [х2 — (— be + са + аб)]2 — [2 )/"бс"(х + а)]2 = = (х2 + 2 / 6с~х + 2а / 6с — аб — ас + 6с) (х2 — 2 / bcx — 2а Y be — ab —ас + be).

Находим: X1 = -^Y be +/ab-~YOc1 X2 = —Vbc — Yab + Yac, X3 = Ybe + Yea + ф Yab, xA = Ybe — Yab — Yac- Все эти значения X1 а также значение X5 = 0 будут корнями данного уравнения, если abc (b — с) (с — а) (а — Ь) Ф 0 (см. задачу 22 этого параграфа). Если же среди значений хи x2l х3, х4, хъ будут равные — а, —Ь, —с, то эти значения не будут корнями данного уравнения. Если abc = 0, то х = 0 не будет корнем данного уравнения, а если abc Ф 0, то х = 0— корень. 45. Если а = Ь, то уравнение не имеет корней. Если афЬ, то уравнение имеет четыре

За — b ЗЬ — а а + b , 3 (а — b) . /

корня: X1 = —?-, х2 = —2— » хз, 4 = —g— — — yg" ' ^подстановка х =

= iL+A__^. 46. За~-26, ЗЬ-2а, -^-±1 ± /^=Aj/" ~. 47. Если а 6, то

, , 2а6 а2 + /?2 _ уравнение имеет четыре корня: 0, a + b, ^ ^ ^ , д _^ ^ . Если а = Ь, то два

корня: 0 и 2а. 48. Если а = Ь, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме X = а. Если а 6 и а2 + ab + b2 Ф O1 то уравнение имеет четыре корня:

л # + — b / а2 — Заб + 62^ . , „ , , , r 9 л

О, а + 6, —і— ± —— 1/ —х-(—г-тЦо-. Если а 6, а2 4- ab ф Ь2 = 0, то урав-1 2 2 г a2 -j- ао + 62 11 Jr

нение имеет два корня: 0 и а ф 6. 49. Если абс (6— с) (с — а) (а — 6) Ф O1 то уравнение имеет корни: X1=O, X2 = Ybe фYса фYab, X3 = — Ybc+ Y ab —Y^c X4 = — Ybc — Yab + Yac, X5 = Ybe — Y ab — Yac. Если abc = 0, то X1 = 0 — не корень, а если аЬсфО, то X1=O — корень. Если среди чисел х2, х3, х4, X5 есть равные —а, —6, —с, то эти значения не будут корнями данного уравнения.

50. Указание. Положить а + 6 = а + ?, с + d = а — ?, а + с = а' + ?', b + d =

=«' — ?'; тогда а = а' = ~ (а + 6 + с +d). ? = і (а + b — с — d), ?' = ¦i (афс—b—d). Затем положить х + а = ,г и решить уравнение относительно г. Ответ. Если X= I1 P2 = ?'2, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме тех, которые обращают в нуль сумму (х + а + с)5 + (х + 6 + о*)5. Если X = I, ?2 Ф ?'2, то урав-

?2 _l ft'2 2

нение имеет два корня х = — а± у — у — при условии, что ?4 — 18?2?' +

+ ?'4 ф 0. Если же X = l,_?2 = ?'2, ?4_-~ 18?2?'2 + ?'4 = 0, то уравнение не имеет корней. Если X ф 1, ?2 = "|/"Х &'2 (под /X здесь понимается любое из значений /X )»

, , f шут /1ч

то данное уравнение имеет два корня: х = — а -х. ? J^/ ——ух~" ЄСЛИ Т0ЛЬК0

Х=?0, X ф (9 + 4/5")2, X^ (9 —4/5)2 и ?'О (в выраженииJl) под /Т принимается то значение корня, которое входит в равенство ?2=y"X?'2). Если X=^l, ?2 = ]/"X?'2, но имеет место хотя бы одно из равенств X = O, X = (9± 4У1Г)2. ?'— 0, то уравнение не имеет корней. Если \ф\, ?2,=? ?/2, то уравнение не имеет корней. Если \ф\, ?2=??'2, $* — Ц'4ф0, ?4 — 18?2?'2 + ?'4 ф 0, то данное уравнение имеет четыре корня:
Предыдущая << 1 .. 200 201 202 203 204 205 < 206 > 207 208 209 210 211 212 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed