Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ответы. § 4. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
461
корнями данного уравнения; более точно: если с = О, а + # ф 0, об (а — Ь) ФО, то уравнение имеет только корни a = з: |/ ——^-; если с Ф О, а-\- о — с = и,
b -\- с Ф 0, то уравнение имеет только один корень х = 0; если с = 0, a -f- б = 0, то уравнение корней не имеет. Далее, если наоборот (а -\-Ь — с) (2с -\- б) Ф 0, но (б + с — а) (б -f с) = 0, то среди значений (7) для х будут значения ± (б + с), которые не будут корнями данного уравнения; более точно: если b ~\- с = 0, ас Ф 0,
/ ас
то уравнение имеет два корня х = ± |/ -^- ; если б -f- с = 0, ас = 0, то уравнение
не имеет корней; если б + с — а = 0, с (б -4- с) 0, то уравнение имеет один корень X = 0, а если б + с — а = 0, с = 0, уравнение не имеет корней. Пусть, наконец, все выражения (3) равны нулю; тогда если хотя бы одно из чисел с и б-h с не равно нулю, то среди чисел X = ± с, л* = ± (б 4-е) есть, по крайней мере, три различных; значит, уравнение не имеет корней; если же с = 0 и б + с = 0, то уравнение не имеет
/х-\~а\2 . t'x — a\2 а X2 —а2 b х2 — а2 х \-а (х + а КОрнеи. 36. [у+ь) + {^ZTb) - j xTZTb2 - a х^?2 = x~Tb U+T "
ах — а\ b X — a fx -}- а ах — а\ _/х -\- а ах — а\ Ix -\- а b X — б/ ах — 6 \л: 4- 6 b х — b ) ~~\х -\- b b х — б / \jc -f 6
— ~я~ ^"Zrf") ^ Ответ: если а Ф б, то четыре корня: у [ ± (а + б) ± ]/"а2-\-6аЬ-\-Ь2]-
Если а = Ь, то уравнение удовлетворяется при любом значении а, кроме л* = ± а. 37. Если а Ф Ь, то уравнение имеет два корня: Jc1 = 36 — 2а, а:2 = За — 26. Если а = б, то уравнение корней не имеет. 38. Если т = 1 или a -j- 6 = 0, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме X = а, л' = б, а = яга, л- = — ягб. Еслі abm(a-\~b)(\— т) (а — ягб) (6 — та) Ф 0, то уравнение имеет три кор: я: х} » 0 л'2,з= ± / аягб. Если хотя бы одно из чисел а или б, или яг равно нулю, ти урав нение корней не имеет. Если amb (т — 1) (а -\~ 6) Ф 0, а = ягб, тф — 1, то )^^» нение имеет два корня: Jr1 = 0, X2 = — я; если аягб (яг — 1) (а + Ь) Ф 0, а = ягб яг = — 1, то уравнение имеет один корень х = 0. Если abт (яг—1) (а-f-6) 0, б = яга, /я =р — 1, то уравнение имеет два корня: .V1=O, X2 =— б; если же абяг (яг — 1) (а -f- 6) 0, б = яга, яг = — 1, то уравнение имеет один корень х = 0. 39. Если (а — 6) (с — d) = 0, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме X = — a, X = — 6, X = — с и х = — d. Если (а — б) (с — о*) (а — of) (а — с) X
X (б — с) (6 — d) Ф 0, а -\- b Ф с -\- d, то уравнение имеет два корня: л- = 0,
лг = д ^_С^—^—. Если (а — 6) (с — d) Ф 0, а -|- б = с -f- а", са* — аб 0, то уравнение имеет один корень X = 0. Если, наконец, а + б = с + а* и erf — аб = 0, то уравнение удовлетворяется при всех значениях х, кроме х = —а, х = — б, х = — с и X = — а*. 40. Если (б — с) (с — а) (а — 6) 0, то уравнение имеет три корня:
XI = 0, а2, з = — (а 4~ б + с ± Ya2 4- б2 + с2 — бс — са — аб). Если а Ф b = с, то
—2а —6 , ,
уравнение имеет два корня: a1=O, X2 =-g-; если Ьфа = с, то тоже два
—26 —а
корня: л-j =0, Jc2 =-5-; если с Ф а = Ь, то тоже два корня Jc1 = 0,
о
_2с_а
х2 =---. Если а = б = с, то уравнение не имеет корней. 41. Если (б — с) X
о
X (с — а) (а — 6) Ф 0, то уравнение имеет три корня: X1 = a -f 6 -)- с, а2} 3 = = -Tj- (a -f- 6 -f- с) ± -у Ya2 + ^2 + с2 — бс — са — аб. Если 6 = с Ф а, то уравнение
> і. і а 4- 56 ^
имеет два корня: Ar1 = а -)- 6 -f с, a2 = —^5— . Если с = аф б, то уравнение имеет
о
,г. б 4- 5а , . . , ,
два корня a1 = a -f- 6 -f с, лт2 = —— ; если а = 6 Ф с, то два корня a1 = a -j- 6 -j- с,
с I 5а
х2 = _Т_— . Если а = 6 = с, то уравнение имеет один корень а- = За. 42. При о
а = 6 уравнение удовлетворяется ігри всех значениях х, кроме а = 6 и
б ± г/36 _ „ , . _ , . , _
jc=-—-. Во всем дальнейшем считаем а Ф 6. Если 6=0, афд, то уравнение имеет только один корень а = а. Если 6 Ф 0, а2 -\- ab -j- б2 ф 0, а2 — ab -\ b2 Ф 0, то уравнение имеет четыре корня: 0, а, ±/аб, а если ЬфО, a2 -j- аб + б2 Ф 0, а2 —аб -f- б2 = 0, то три корня 0, ± / аб. Если 6 0, а2 -f аб + б2 = 0, то уравнение имеет три корня 0, а, — (а + 6), а если 6 0, а = 0, то один корень, равный 0.
462 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
( а + Ь+х а + Ь+х а + Ь + х ,\( а + Ь + х , a + b + x , 43- \ ~а г b + X 1)\ а + Ь + а + х +
а + Ь + х 5\ 5 .... ч2/1 ,1.14/ 1 , 1 , 1 \
нение имеет корень х = — (а + Ь), если а + Ь фО, а фО, Ь фО. Если же ab (а -(-o)=0, то это значение х не является корнем данного уравнения. Далее,
<*+ь + Цт + Т + Ш^ + тЬ+ьЫ-( 1 , 1 і 1 \ 5/11 1\_
{a + b^a + x^b-i-x) 2 \а ^ b ^ х) '
[I+(„+4)(i+.)+,(i+i)+i±i](_^+_l_+F|_)_
/і і і , M5Mi1I М-р
[*+'>(МММ)+^]Ыт+гЬ+*Ы-
-!(7 + 7 + 7)=»- ^Г<*+0*«+'>(їТГ + їІ-г + ЇТ7)-
