Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
'X — у Z — X ' у — z у — Z Z — X X — у
значит, (7) будет решением данной системы тогда и только тогда, когда а2 ф ab ф Ф Ь2 Ф 0, аф b Ф O1 b Ф га. Если а Ф O1 Ь Ф O1 но хотя бы одно из чисел аф Ь, а2 ф ab + Ь2 или b — га равно нулю, то система не имеет решений. 26. Если ІфафЬфсфО, то имеется два решения:
( 1 I_ _J_\
КУіфафЬфс* Yl+a + b + c' Уі + а + Ь + с)
соответственно двум значениям радикала (во всех случаях берется одно и то же значение радикала). Если 1 + а ф b Ф 0, 1 + с ^ 0, то имеется еще два решения:
Uf ! + о ЛГ 1 + с A l + fl + A.
\У ІфафЬ' У Іфа+Ь' У 1 + с /'
в первых двух случаях значения радикала одинаковы (но любые), значение для z связано со значением х (и у) соотношением xz = —1. Если \ ф аф b = 1 + с — 0,
то взамен этого решения система имеет бесконечное множество решений ^x1 х, — —^,
где X — любое число, не равное нулю. Если \ ф афО, 1 + b ф с Ф 0, то система имеет еще два решения:
( /~Г+Т+~с / Г+^~~ Г~Т+1Г\
\ У \фа ' У 1 + Ъ ф с1 У Г+ Ьфс)'
причем здесь значения радикалов выбраны так: у ~ Z1 ху = 1. Если 1+я = 1 + -j- 6 + с — 0, то взамен этих двух решений система имеет бесконечное множество
31
П. С. Моденов
482 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
решений (— , у, у) , где у — любое число, не равное нулю. Если 1 + Ь Ф О, 1 а + с Ф О, то система имеет еще два решения:
W l + c + af V l+b 9 V 1+с + а)9 причем здесь x = z, ху = — 1. Если, наконец, 1 + # + с = 1 + #'=0, то взамен
этих двух решений система имеет бесконечное множество решений (^Z,--\ , Z^j,
где z — любое число, не равное нулю.
§ 9. Решение рациональных неравенств
1. Корни функции (х + 1) (х — 2) + 3) (х — 4) таковы: —3, —1, 2 и 4. Если X < —3, то все множители отрицательны, а значит все произведение положительно. Если —3<х<—1, то все множители, кроме третьего, не положительны, третий множитель не отрицателен, и, значит, произведение не положительно. Если —1 < X < 2, то первый и третий множители положительны, второй и четвертый отрицательны, а произведение положительно. Если 2^x^.4, то первый и третий множители положительны, второй не отрицателен, а четвертый не положителен, следовательно, и произведение не положительно. Наконец, если х > 4, то все множители положительны и, значит, произведение положительно. Итак, все решения данного неравенства образуют три • интервала: (—оо, —3), (—1, 2), (4, + оо).
2. — < 1,---1 < О, -Ц^- < 0 и т. д. Ответ: (—оо, 0), (1, +со). 3. (—4, —2),
(1, 3), (5, + оо). 4. (— со, —4), (—2, 1), (3, 5). 5. (—со, 1), (2, 3), (4, + со).
6. (-1, -!).(1' т)-7' Указание' х*-Зх* + Зх + 1 = ^х\(х*-Щ--
-2(,.-^) + -§|,. . , , 0„„: (-„. І=УШ). № ЭД.
(7+Y85>+00)_ 8< ^00-J)1 (3,4).9. (у. 2), (2, +со). 10. (-со, -4), (-1, 2), (3, +со). 11. (2~yf і). (З. 2 + Yf)- 12- (-=°' "З)' (4' + °°>-13. (2-/3, 1). (2, 2 + ^3). 14. (-4, -|). (-1. +со). 15. (-со, ~"7~/37),
(_5>_з); ЭД. (з>5)) (1±^;+от). 16. (,5),
(2, I), (3. +со), ,7. (Цр_0> _ 2| 1+VjO). 18_ _2)i I}_
(2, 3), (4, 6). (7, +со). .9. (-6, 6-^6), (0, 6), (« + «Pb, 9). (9, +со). 20. (—8, —5/2), (-6, 0), (6, 5 /2), (8, + со). 21. (—со, —2), (— А, —, (I1 5). 22. (-2, -A), (-I1 1), (5, +со). 23. (-со, -4), (-3, -1-), (-2,-1), (0, + со). 24. (-4, -3), -2), (-1, 0), 25. (А , в), 26. (-2, 0), (6, +со).
27. (-1, 2). 28. (-00,0), (A1 з). 29. (-1, -А), (-A1 -I), (0, +со). 30. (-со, 1), (A, A)1 (А, 4). 31. (l, ~у (A, А), (4, +со). 32. Указание. Сложить дроби, равноотстоящие от концов; (—7, —6), (—5, —4), (— » —^) * (-2, -1), (0, + оо).
§ 10. Иррациональные уравнения с одним неизвестным и смешанные системы
Указания. В уравнениях вида f(x) = Q, где f(x) — рациональная функция от х, требовалось определить все корни, в том числе и комплексные. Аналогичное условие ставилось и по отношению к системам рациональных уравнений (§ 1—8). В § 10 требуется найти лишь действительные корни; при этом для каждого ради-
Ответы. § 10. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 483
кала берется лишь его арифметическое значение. Возможна и иная точка зрения, когда для каждого радикала берутся все его значения (в том числе и комплексные); корнем уравнения в этом случае можно считать такое значение неизвестного, когда при подстановке этого значения в данное уравнение найдется такой набор радикалов, при котором уравнение удовлетворится. Так, например, с этой точки зрения уравнение (Yx — 4-\-Y х — l)A = \ имеет корень х = 0, так как одним из значений корня Yx-4 при х = 0 является 21, одним из значений корня Y~x~— 1 ПРИ = 0 является — /; значит, одним из значений суммы Yх — 4 ~\--f- Yx — 1 при х = 0 будет /, но /4 = 1. Этой точки зрения в § 10 мы придерживаться не будем. Отметим, что в вопросах решения неравенств рассмотрение многозначных функций уже явно нецелесообразно (например, если ограничиться лишь арифметическим значением корня, то можно сказать, что неравенство Yх > 1 при X = 4 выполнено, но если считать, что У"4 = ± 2, то вопрос о выполнимости неравенства Yx> 1 ПРИ х = 4 лишен смысла). Кроме того, множество комплексных чисел мы рассматриваем как неупорядоченное (знаки > и < не вводятся); таким образом, при решении неравенств нужно ограничиваться лишь действительными числами. Одним из весьма плодотворных методов решения уравнений (а также систем уравнений и неравенств) является введенное С. И. Новоселовым понятие смешанной системы, т. е. системы, состоящей из уравнений и неравенств. Это понятие позволяет во многих случаях от одного уравнения или системы уравнений перейти к эквивалентной смешанной системе. Этим дается строгое обоснование применений разнообразных преобразований уравнений, в процессе которых и не теряются и не приобретаются < лишние> корни. Особенно удобно применять этот прием по отношению к иррациональным уравнениям. Применение этого приема позволяет не производить «проверки) найденных «решений». Такая проверка иногда вызывает значительные технические трудности. Так, например, ниже, на стр. 488,
