Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
1 А
= —o [(а°г — са')2 — (a°f — bar) (be' —cb')\ = —15-. Далее аналогичными преобра-а'2 а'1
*/-ч . *rs br (abf -ba')-2a' (acr — са') P . зованиями получим /(0+/(?) =--0-= —0-• Анало-
гично находим ср (X1) 9 (х2) = ^ и ср (X1) + ср (х2) =--~2-----= ~2.
Из полученных выражений для /(S1)Z(S2) и Cp(X1)Cp(X2) следует, что данные уравнения имеют общий корень тогда и только тогда, когда A = O; А называется результантом двух данных уравнений; его можно представить в виде
Д = 1 \(2ас' + 2саг — bb')2 — (b2 — 4ас) (b'2 — Aa'с')\ (I)
Все, что мы имели выше, верно и в том случае, если коэффициенты а, Ь, с, а\ Ь\ сг — комплексные числа. Начиная с этого места, мы будем считать, что a, by с, а''у Ь\ с'—действительные числа, причем а Ф 0, а' Ф 0, и в дальнейшем будем исследовать лишь те случаи, когда корни данных уравнений действительны.
но
446 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
С л у ч а й I. А Ф 0 (т. е. данные уравнения не имеют общего корня), а) А < 0. Из соотношения (I) следует тогда, что (Ь2— Acic) (b'2— Aa'с') > 0, значит либо Ь = Ь2 — Аас > 0 и 6' = /У2 — Aa'с' > 0, либо Ь < О и о7 < 0. Следовательно, если А < 0, то оба уравнения имеют либо действительные (и различные корни), либо оба уравнения имеют мнимые корни. Пусть А < 0, о > 0 (тогда и о' > 0). Так как /(50/(?) < 0, то одно из чисел S1 или S2 лежит между x1 и x2, а другое — вне интервала (хх, х2), т. е. мы имеем либо
X1 < Si < X2 < S2, (1)
либо
Ei < X1 < S2 < х2. (2)
В случае (1) мы будем иметь C1 + S2 > X1 + х2, в случае (2) S1 + S2 < -^i + -*Y>
иначе, в случае (1) — ~ > — — , т. е. k = aa' (ab' — ?д') < 0; в случае (2) k > 0.
(з) А > 0, S > 0, Ь' > 0. Тогда корни данных уравнений действительны и все попарно различны. Так как /(S0/fe) > 0, то /(SO и/(S2) одного знака и одного знака с /(SO +/(S2)- Но знак последний суммы одинаков со знаком Р. Значит если аР < 0, то а/ (?0 < 0 и a/(S2) < 0, поэтому Si и S2 лежат между X1 и х2:
Xx < Si < S2 < *2, (3)
а если аР > 0, то afQ1) > 0 и я/(S2) > 0 и значит возможны следующие расположения:
Si < X1 < х2 < S2, (4)
хх < X2 < Si < S2, (5)
Si < S2 < X1 < х2. (6)
Так как А > 0, то и ср (хх) ср (х2) > 0; в случае (4) Xx и X2 лежат между Si и S2, значит а'у(хх) <0 к д'ср (х2) < 0, а потому я'ср (хх) + а'у (x2) = ar Q < 0. В случаях (5) и (6) a'Q > 0. При этом в случае (5) Xx + х2 < S1 + S2, т. е. ? < 0, а в случае (6) k > 0. Итак:
( ? < 0 хх < Si < X2 < S2 (1)
аР < 0 хх < S1 < S2 < х2 (3)
f a'Q < 0 S1 < .t1 < X2 < S2 (4)
А > 0, В > 0, Ь' > 0 j\ р > 0 j ґ & < 0 x1 < x2 < Si < S2 (5)
й С/ > I)
( I k > 0 S1 < S2 < x1 < x2 (6)
7) А > 0, причем или 5 = 0, или о' = 0, или У = Ь = 0. Пусть, например, Ь = 0; тогда
b b
X1 = X2 = —и вопрос сводится к определению расположения числа —
относительно действительных и различных корней уравнения ср (х) = 0 (Ьг > 0). Аналогично исследуется случай Ь' = 0 o > O. Если, наконец, Ь = В' = 0, то
6 , , 6' b У
X1 = x2 — 2~ » m = S2 — — и Дело сводится к решению неравенства — - <—
или-->--- .
а а
Случай II. А== 0, т. е. данные уравнения имеют общий корень; пусть x0 — общий корень данных уравнений, т. е.
ах\ + bx0 + с ЕЕ 0 а' х\-\- 6'xq + с' = 0
— а
Умножая первое из тождеств на —а', второе на а и складывая, получим
са' — ас'
(ab' — bar) x0EEcar—ас'. Если abr — baf Ф 0, то x0 ee —^1-^y. Отсюда следует,
что если А = 0, но ab' — a'b ф 0, то данные уравнения имеют только один общий
,. oz'— ас' / ч л „ /
корень x0 = So = -^y—Второй корень x0 уравнения /(дг) = 0 будет x0 =
= — — — ^т—^т?, а второй корень S0 уравнения ср (х) = 0 будет S0 = — — —
с#' — ас' „, ^ f ґ
— ab1--~oTb ' м образом, х0 , х0, Q0 и выражаются рационально через о,
с, а', Ь'} с'; значит, если а, Ь, с, Ь\ с' — действительные числа, то корни
Ответы. § 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
44?
обоих уравнений действительны. Учитывая, что х0 = S0, получаем, что возможны следующие восемь расположений х0, x0, S0, S0 относительно друг друга (случай S0 = x'q, So = х0 исключается):
¦^o < < -*о = хо ~ < хо < S0 < х0 < x0 — с0 х0 — ?0 < c0 < х0
¦*о < >о ¦— хо — *о х0 = с0 — X0 < C0 S0 < X0 = х0 = S0 х0 = S0 = S0 < х0.
Задача решена, так как х0, х0, S0 и S0 выражены рационально через а, 6, с, а\ Ь\с', Замечание: если A=O и ab'—a'b = 0, то ас'—а'с = 0; значит, а: 6 : с = = а' : 6': с' и потому X1 = Si, х2 = S2 (корни могут быть и комплексными). Рассмотрим теперь задачу об этого^параграфа. Обозначая корни уравнения х2 — х—1=0
через X1 и х2: X1 = -—X2 = ^—а корни уравнения х2 + ах— 1=0 —
, щ —a — V~&~+l , — а + Уо^+З 1 .
через C1 и S2: сі =-2-— » ^ =---—» находим (а = 1, 6 = — 1,
с = — 1, а7 = 1, 6' = а, с' = —1): ас' — са' = 0, аб' — 6а' = а -f 1, 6с' ¦— сУ = а + 1; следовательно, A = — (a + I)2 <; 0, & = а + 1. Значит если а < —1, то (А < 0, k < 0) X1 < Si < X2 < S2; если а > —1, то (А < 0, k > 0) S1 < X1 < S2 < *2» а если а = —I,
