Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
то X = 1 + 2" У = -g- (5 + 4z— 2 — 5z) =—g—, где -г — любое число, д) Если
а 6=?0 то .-- 2(3ft-2а) 5(36-2а) _ 2(96-5а) а-ЬфО, ЬфО, то г--^-, Jf=H--33---3?-.
-1[
' , 8 (36 — 2а) 4 (96 — 5а) I 36 + 4а . е , , ^ 0
5+ 36 -- 36 J"—7- Если "^1- а^~2' Т0
д- =--+о , у = ——ft , г = -—,—А— • Если а = 1, то z = 1 -—л* — у, a х
а + 2 у а + 2 ' а + 2
и у — любые числа. При а = —2 система несовместна. 8. Если а Ф 1 и a ^—3,
_ а2 + 2а + 2 а2 + а — 1 _ 2а + 1 а3 + За2 + 2а + 1
Т0 Х~~ а + 3 ,:У~" а + 3 ' z~ а + 3 ' а + 3
Если a = I1 то ^ = I—л* — у — z, a л:, у, г — любые числа. При а = — 3 система
п рг , ,л лі 26 — 1 1 _.2а6 — 46 + 1
несовместна. 9. Если 6 0 и а Ф 1, то л: — -7-7-rr-, у — -г , z = —=-7-~—.
6 (а—1) J b b(a— 1)
Если 6 = 0, то система несовместна. Если ЬфО, а = 1, 6 ф ~, система несовместна.
Если а = 1, 6 = А , то X—любое число, у = 2, z = 2—х. 10. Если a2+ 62 +c2+d2^=0,
то система имеет единственное решение: „* = y = z = / = 0 (см. задачу 9, гл, 1, § 1).
с и , 1 и / о a (ft +Ij-6— с
11. Если кф 1 и ft—2, то система имеет единственное решение: х = — ,
(# 1) (ft + I)
6 (ft+ 1) — а — с c(ft+l) —а —6 _ . 0 ... л
система эквивалентна следующей: — 2л- + у + z = а, х — 2у + z = 6. Все решения
6-а .6 +2а й „ , ,
этой системы: л*, у = л---5—, z = л" + —^-; л- — любое число. Если ft = l
о о
и і = 6 = с, то все решения: х, у, г = а — х — у, где х и у —любые числа. Во всех остальных случаях (ft = — 2, а + 6 + с =^= Q и ft = 1, причем среди чисел а, 6, с есть хотя бы два различных) система несовместна. 12. Если 6 ф с, с Ф а, афЬ, то X = абс, у = — (бс + са+аб), z = a+6+c. Если среди чисел а, 6, с есть только два равных, например, b = с Ф а, то данная система эквивалентна следующей: X + ay + a2z = а3, л- + 6у + 62z = б3, откуда л- = abz — аб (а + 6), у= — (д _|_ b) z + а2 + ab + б2, где г — любое число. Если а = 6=с, то данная система эквивалентна одному уравнению х + ay + a2z = а3; все решений этого уравнения: х = a3 — ау — a2z, у, г, где у и z— любые числа. 13. Указание: переписать данную сис гему в виде (а + 1) х = (6 + 1) у = (с + 1) 2 = (d + 1) a = = ал' + 6у + Cz + da и ввести вспомогательное неизвестное ах + 6у + cz + dw = 5.
Ответ: а) если (a + 1) (6 + 1) (с + 1) (d + 1) Ф 0 и -—-у + ^-Ay + -^-у +
+ -j+TY — ^ф0, то x = y = z = u = 0; б) если (а + 1) (6 + 1) (с + 1) (d + 1) ф 0,
но ——г + , , 1 А---—г + , , 1--1=0, то X = ——: , у = , , л , z = ——-,
а+1 1 6+1 ' с+1 1 d+\ а+1 J 6 + 1 с + 1
" = ~т~т~г' r^e ^ ~~ любое число;, в) * если а + 1 = 0, (6 + 1) (с + 1) (а* + 1) 0,
а+1 % ^
то X = у = і = и = 0; г) если а+1=0, 6 + 1^=0, с+1=^=0, d + l=^=0, тоу — произвольное число, X = — у, z = 0, и = 0; д) если а+1=0, 6 + 1=0, с + 1==0, d + 1 =^= 0, то у и г — любые числа, л- = — у — z, a = 0; е) если a + l^O.^ + l^O» с + 1 = 0, d + 1 = 0, то х, у, z — любые числа, а = — х — у — z. 14. а) Если а= 6, а Ф с, а Ф dt b Ф с, 6 Ф d, с Ф d, то х = a6cd, у = — (абс + аба* + acd + бса*), г = ab + ас + ad + 6с + 6d + cd, ^ = — (а + 6 + с + d); б) если а Ф Ь, аф C1 Ьфс, с = d, то ^ — любое число, л* = — abet — abc (а + 6 + с), у = (ас +.¦a^ + be) t + -4- (a-\~b + c){bc + ca + ab)— abc, z = — (a + 6 + с) t — (а2 + б2 + с2 + 6с + са +аб); в) если а Ф b = с = d, то ^ и г — любые числа, а л* = a6z + аб (а + 6) ^ + + ab (а2 + аб + б2), у = — (а + 6) 2 —(а2 + аб + б2) t — (а3 + а26 + аб2 + б3); г) если
* Аналогичные выводы будем иметь в случаях: 6 + 1=0, (a + 1) (с + 1) (d + 1)=^=0 или с + 1 = 0, (a + 1) (6 + 1) (а+1)ф 0, или d + 1 = 0, (а + 1) (6 + 1) (с + 1) ф 0. В подобных случаях [см. ниже случаи г), д), а также задачи 14, 15 и др.] мы не будем в ответах давать полный анализ результатов.
28 П. С. Моденов
434 Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
X
а а» ft S= с = d, то у, z и ^ — любые числа, a .* =— ay— a2z — a3t— а4. 15. Указание: ввести новые неизвестные; хф у ф z = р, у ~\-z = q, z = г. Ответ: а) если a=^ft, b ф с, с=?а, то х = — abc — bc — ca — ab, у = be ф саф ab ф а ф Ь ф с, zz=z—a — 6 —с; б) если афЬ = с, то г произвольно, х = (аЬфафЬ)гф ф ab (а ф Ь) ф а2 ф ab ф Ь2) у = — z — (а ф Ь) г — а2 — ab —- b2\ в) если а = Ь = с, то у п z прсизвольны, X = — (у ф z) (аф X)-O2Z- а3. 16. а) если а ф Ъ, Ьфс
и сфа. то X= (д_ц(я_с) ' У ~ (& — с)\б — а) ' ^ (с-дНс-Ц ' б> еСЛИ а ф b = с, то система несовместна; в) если a = b = с, то система несовместна. 17. Указание. Ввести новые неизвестные: X = х—1, Y= у — 1, Z = z—1.
1113
Ответ (предполагаем, что а Ф О, b ф 0, с Ф 0): а) если -^- + -^- + -^- — 0,
1 , 1 , 1 3 л
TO СИСТема Имеет еДИНСТВеННОе решение X=y=Z=\\ б) єсли ^+"р + ^""""^==0»
111111
но хотя бы одно из чисел -^y- -~2, Yc~~~~aT' ~ac~~l)r НЄ равн0 нУлю» то
число; в) если -^7 — -^y = — ~ = ^ — 72"- = 0• то у и 2' —любые числа,
