Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ответы. § 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
449
1 + 5 + -^-=6 имеет двойной корень s -.= — 2, то прямая (D') касается параболы (77)
в точке [a' (—2, 1) (черт. 79). Прямая (D') делит плоскость (И) на две области: одну, содержащую начало координат, для которой F (—1) = 1 -f- 5 -\- р > 0, другую, для которой F(—1) < 0. Если M находится в области, содержащей О, уравнение (1) или вовсе не имеет действительных корней, либо имеет два корня таких, что — 1 лежит вне интервала, образованного ими. Если M находится в другой области, то уравнение (1) имеет два корня таких, что —1 лежит между ними. Исследование числа корней уравнения (1), заключенных между —1 и +1. Предыдущее исследование позволяет найти в зависимости от положения точки Ai в плоскости (H) расположение чисел —1 и +1 по отношению к корням уравнения F (х) = 0, На черт. 80 суммированы результаты предыдущего исследования
Черт. 80.
Мы видим, что уравнение (1) имеет два корня, заключенные между —1 и +1, если M расположена в области, ограниченной дугой параболы (П) и прямыми (D) и (D'). Уравнение (1) имеет только один корень, заключенный между —1 и +1, если M лежит в одном из двух углов, образованных прямыми (D) и (D'), именно тех, которые не со ^ржат точек параболы и не являются углами, Вертикальными к углу, в котором расположена парабола. В оставшейся части плоскости нет корней между —1 и -\-\. 2°. Геометрическое место точек M таких, что уравнение (1) имеет корень а. Уравнение (1) имеет корень а, если F (а) = а2— as+р = 0—это прямая (А), пересекающая ось Os в точке с абсциссой а, а ось Op — в точке с орди-
S2
натой — а2. Так как уравнение а2 — as + — = 0 имеет двойной корень s = 2а,
то прямая (А) кгсается параболы (TT) в точке A (2а, а2)] эта точка А и соответствует трехчлену (х — а)2. Точка T (а, 0), в которой прямая (А) пересекает ось Os, соответствует трехчлену X (х — а). Огибающая AT—парабола (TT). 3° Построение А и В (исходя из Р). Пусть P — точка, соответствующая трехчлену (х — а) (х — Ь). Так как этот трехчлен имеет корень х = а, то точка P лежит на касательной к параболе (TT) в точке А и аналогично — на касательной к параболе (TJ) в точке В. Следовательно, точки А и В суть точки прикосновения касательных к параболе (П), проведенных из точки Р. Геометрическое место точек М, соответствующих трехчлену (х — О X — d) при условии, что (а, Ъ, с, d) — гармоническая четверка. Пусть на оси координат четыре точки с абсциссами а, Ь, с, d образуют гармоническую четверку; тсгда (и только тогда) (а + Ь) (с + d) = 2 (ab + cd). Если мы положим с -)- d = 5, cd = р, то получим (а + b) s = 2 (р + ab). Точка M (s, р) принадлежит, следовательно, прямой плоскости (И), имеющей это уравнение; это уравнение удовлетворяется, если с = d = а (и если с - d = b)\ значит, эта прямая есть прямая AB. Обратно: если мы возьмем на прямой AB точку, внешнюю по отношению к параболе (77), то s2 — 4р > 0; значит, существует два действительных числа end таких,
* Отметим еще, что для области /, s = х' -\-х" < —2, для области //, —2 < х' + -j-. х" < 2 и для области ///, х' + х" > 2; отсюда и из предыдущего следуют неравенства, отмеченные на черт. 80.
29 П. С. Моденов
450 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
что с + d = s и cd = р\ числа cud удовлетворяют условию гармонической сопряженности. Таким образом, геометрическое место точек M есть часть прямой AB, лежащая вне параболы (П). И. Возьмем в плоскости (H) две точки с координатами 5 = 11, р = 22 и 5 = 7, р = 10. Соответствующие трехчлены: х2— 11x4-22,
х2 — Их + 22 _____ , 4х—12 ЛГ
X2 — 7х + 10; отсюда у =
X2 — 7х + 10
или у = 1
1
где
N = Ax- 12, D = X2 —7х + 10. Дробь
— 7х + 10 D'
будет целым числом, если N делится
на D. Исключая х из этих двух равенств, получим 16D = N (N— 4)—32. Если N делится на D,. то 32 также делится на Dh, значит, D имеет вид ±2k, где0<!&<;5. Остается найти, какие из уравнений х2 — 7х + 10 ±2^ = 0 имеют целые корни. Дискриминант этого уравнения равен 49—4(10 + 2^)-9 + 2k+2, и корни могут быть целыми только в том случае, если 9 + 2А+2 (0< k < 5) — точный квадрат. Для числа 9+2A+2 имеется (при условии 0 <; k < 5) только одно такое значение к = 2, а для числа 9 — 2k4~2 только 1. Соответствующие уравнения х2 — 7х + б = 0, х2 — 7х + 12 = 0; корни первого X=I1 X = 6, корни второго X = З, X = 4. Итак, целые значения х, при которых дробь у принимает целые значения таковы: 1, 3, 4, б. III. Рассмотрим функцию /(X)-COS2X — SCOSX+/? на сегменте [0, тс]. Имеем: /(0) = = 1 — s + р, f(iz) = 1 + 5 + /?. 1°. Ответ: если | s | > 2, то функция /(х) монотонная; при 5 <— 2 функция убывающая, при s>2 функция /(х) возрастающая; если | s | < 2, то функция /(х) убывает на
возрастает на сегменте
j^arc cos у , tcJ . Разделим
плоскость (H) на три области прямыми o(s =— 2) и
сегменте ?о, arc cos j и
P'
(8')
S' -2
' 0
2
P'
Черт. 81.
Черт. 82.
Ъ' (s = 2). Если точка M находится слева от (о) или на (о), то функция f(x) убывающая; если точка M находится между (о) и (Ьг), функция /(х) сначала убывает, затем возрастает; наконец, если точка M находится на прямой (Ъ') или справа от (Ъ'), функция /(х) возрастает (черт. 81). 2°. Пять частных случаев, а) Если s — — 4t р = б, функция убывает: когда х возрастает от 0 до тс, она убывает
