Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
53 = />? - 3P1P2 і- Зр3 = — 1,
а теперь, применяя вторую формулу Ньютона, находим:
54 — />153 + ^252 — PsSl + ^45O = ° (5O = А + А + А + А = 4).
S4 — 1 — 4 = 0, S4 = 5,
55 — Pl^4 + P2S3 — Р352 + P4S1 = 0,
S5+ 5+1=0, S5=— 6,
56 ~ p,s5 + P2S4 — P3S3 + p4s2 = 0,
S6 — 6 — 1 = 0, S6 = 7.
456 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Значит,
51 = — 3,
52 = 2s2 + s] = 2 + 1 = 3, «S3 = Ss1S2:==z — 3%
= 4S1S3 + 3s2 — 4s4 = 4 + З — 20 = — \3,
55 = 5S1S4 + 1Os2S3 — 12s5 = — 25 — 10 + 72 = 37,
56 = Os1S5 -f 15s2s4 + 1Os^ — 28s6 = 36 + 75 + 10 — 196 = — 75.
Теперь по первой формуле Ньютона находим основные симметрические функции от аргументов Xx + хъ Xx + лг3, ...:
P1 = S1 = — 3, S2-SxPi +2Я2 = 0, 3 — 9+ 2P2 = 0, P2 = 3; S3 — S2P1 + SiP2 - 3P3 = 0, — 3 + 9 — 9 — 3P3 = 0, P3 = - 1; S4 — S3P1 + S2P2 — S1P3 + 4P4 = 0, _ 13 9 4- 9 - 3 + 4P4 = 0, P4 = 4, S5 — S4P1 + S3P2 - S2P3 + S1P4 — 5P5 = О, 37 — 39 —9 f 3—12 —5P5 = O, P5 = —4.
А теперь по второй формуле Ньютона S6 — .S5P1 4- S4P2 — S3P3 + S2P4 — S1P5 + + 6P6 = O находим —75+ 111 — 39 — 3+ 12— 12 +6P6 = O, P6=L Искомое уравнение: х6 + Зл:5 + Зх* + л:3 + 4л:2 + Ax + 1 = 0. 65. л:3 — 2л:2 + 1 = 0. 66. 25л:3 + + 37л:2 + 18л: + 3 = 0. Указание. Воспользоваться формулами Виета. 67. У к а-з а н и е. X1 + л*2 + л:3 = 0. 68. q ф 0, 256р5 — 3125а = 0. 69. При X=Il- двойной
корень X = 1, при I = — 5 тройной корень X = — 1. 70. а =--g- є, b = —6є,
5 л -1 + //3 -1-//3 с = -g-, где є равно или 1, или ——^-¦ или -g-' Корни 1, 2, 3.
73. (р— #)2+(7==0. Третий корень равен a?. 74. Общий корень — ^2 . Два
j /7i—/>2
других корня первого уравнения: 2 (gi—fo ± 3 (at—a2)2—4/?, (Pi—P2)2)*
Два других корня второго уравнения: --Aqx—q2±\r—3(qx— q2)2—4p2('Pi—p2)2)-
2 \P\—P2)
75. Pi = — 12; qx = — 2; p2 = — 7; a2 = — 1. 76.
1 + 1/2/2-1 / 2k7z , , • 2*«\
-!-- j COS--r- / Sin- I ,
Y2 \ n n )'
x-VV2Vv~2l~l [cos (2"t1)TC+/sin (2k+nl)Kl
ГС0С(2* + 1)*-агсі8ТЛ+2/Т fcln(2fe+l)«-arctgT/l+2V2 1
: = /1+/-2
cos (2fe+l)ft + arctg/l+2/2 (2*+l) ^+arctgТЛ+2 / 2 1
n
k = 0t 1, 2, 3, .... n—h
у 2 ( COS--p- і sin-¦ J — 1
77. л: = a-----^-, k = 0, 1, 2, ..., n — 1. 78. a) — /ctg—,
n n _ OU ^n'
I+/4 — 2/ 2cos — n
kr.
k = 1, 2, ..., я — 1. 79. ctg —, = 1, 2, ..., я — 1. 80. Если sin у 0, то уравне-
Ответы § 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ 457
„ л ф + 2kiz
ниє имеет п корней: tg ^—, k = 0, 1, 2, ..., п — 1; если cos ср = — 1 и п нечет-
« / и Л—1\
ное, то уравнение имеет п — 1 корней I исключается значение k = —^—I'» если coscp=l и п — четное, то уравнение также имеет п—1 корней ^исключается
k ~ "5")' 81* КоРни: 1, 2, 3, л. Указание. Последовательно сложить дроби. 82. Уравнение можно переписать в виде (cos ср + / sin ср) [1 -f (cos о 4- / sin а)х]п -f- (cos ср —/sin ср) [1 + (cos а — /sin а)х]п = 0.
Ответ:
, (2?4- — 2ср
Sin-~2^-
д-ь =--/г>, , 1ч-o-o—» k = 0, I1 2.....л — 1.
A (2/fe H- 1) тс — 2ср — 2па
sin--!—^—75-1-
2п
Если а ф--^-L» ^=O. 1, 2, я —1, то уравнение имеет л корней,
указанных предыдущей формулой. Если же при некотором целом ?>0 имеет место (2*+ —2?
равенство а =--~2п- ' Т0 И3 Указанных значении х^ следует исключить х^
с индексом, равным остатку от деления числа k на число я; если & < 0, то сначала к нему надо добавить л столько раз, чтобы сумма была больше или равна нулю; первая такая сумма дает индекс для xk, который должен быть исключен из указанной совокупности корней; уравнение в последнем случае ^т. е. в случае наличия
(2* + —2?\ л равенства а =-—~--J будет иметь л— 1 корней.
§ 3. Рациональные уравнения с одним неизвестным 1. 3. 2. |, 1I 3. 0. » 13. 4. ±|, ± tVS. 5. rS-l±Vm=J. t -]Г2-1 ± //2/2+1 V п
-_-, Указание. Переписать уравнение в виде
(x—j+jj + 3?- =1- 6. 2, - 1 ± tVb 7. О, ± 5 У 2. 8. ± /2, ± /? 9. 6,-f. 10. О.--§. 11. j(_l± j/"f). 12. З, -1, 1±,/а 13. |, |,
-13±3а5//5Т 14. /І-^l/ffZlA -/"f-li/Ff+Xs. 15. 6.
—2, 3±У2Т. 16. Подстановка x=^—~; ответ:—у, ~ ^—7 ± ^Y313+}3. ±
, ,-./" /Ш—1з\ t 5 — 37 ± /1^1221 10 1 24 + 35//1 ±ty _ у 17. I, -у, й . 18. у, -j3-
19, 7 ± /34, 7 ~ ^ 11 . Указание. Положить х2 — 8х +¦ 15 = у; тогда легко
находится отношение у. 20. — I1 2, ^15 . 21. 2, ~, ~ (— 9 ± /65).
22. 7, 1, -25^^339 23. 2, і, 2 ± /1. 24. О, ± 6/, | (1 ±/26). Указа-
п х4-6,х — 6 . , ,/"19 _. _
н и е. Правая часть равна ^_^ -f х .25. 1±|/ ^. Указание. Произвести
5
умножение биномов. 26. —2". Указание. Переписать уравнение в виде
31
458 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
1(1±//б5). 28. ±1.1 -3±4^1U/. 29. +2 ±1 ±/"»±//21
6 2 3 13 2 ' /34
