Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
(±_±)(2_±_Л\
\V W J \ И V W)
по ровному месту:
'_\у 1 W J
под гору:
(T-I)(I-I-Ij
\ u W }\и V W)
3
34. Л —в 30 дней, В— в 45 дней, С —в 18 дней. 35. -^-j—~-час>
"~ + Т + 7+T
3 3 3
час, —=—~1--г- час, —=-=-=-б— час.
а ft + c^d д ^ ft c^'d a ^ ft + с d
36. 1 час 45 мин., 7 час, 3 час. 30 мин. 37. 480 л, 560 л. 38. — — дней
oft -f- яс — ftc
-г—г—г- дней, -:—т-г дней. 39. 99. 40. 16 час 48 мин., 60 час, 40 час.
ab -f be — ас са-+- cb — ab
41. 1 час 24 мин. 42. AB= 14 км, ВС = 16 км. 43. ^J?l—, & > 2. 44. 2д?.
45. Л плыл мимо ? в 3 час 20 мин. Скорость течения реки 2 км/час. 46. AB = 72 км, ВС = 120 км, V1 = 30 км/час, V2 = 60 кмЫас. 47. = 63 км, ВС = 126 агж. Скорости: 42 км]час и 84 км\чае. 48. 8. 49. CD = 2160 и/; Л проходит это расстояние
Ответы. § 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
443
за 8 мин. 15 сек., В — за 9 мин. 45 сек. 50. 40 кмічас и 60 км/час, AC = 120 км.
51. х = 45, у = 30, - = ~. 52. х = 5, у = 4, — = 4- 53- = У=45,
я о Vo о 4
54. — = Z1 = IO, Z2 = Il (считая и стоянку в В). 55. X1= я/.ят2> л
t/2 О IfI- 1)2
п2— 2л + 2 . .
X2 —{п__іу Л, X3 = X4 = ... Z=Xn = А. 56. (п — I)2 а; число лиц п — 1.
57. Первый покупатель должен был получить сдачи 25—47,5х, а второй 100—83х. Пусть 25—47,5х содержит а руб. и 6 коп., а 100—83х содержит с руб. и d коп! Тогда 25 — 47,5х = а+ 0,016, с + 0,0\d = 100 — 83х. (1). Кассир дал первому покупателю 6 + 0,01я, второму я*+ 0,01с. По условию а + с + 0,016 + 0,0Ы = 6 + d + + 0,01а+ 0,01с или я + с = 6 + я\ Кроме того, 6 —а = 65 или 6—-я = 64. Считая 6 — а = 65, находим 6 = ^ + 65, я" = с— 65. Подставляя это в (1) и исключая х после упрощения, получаем 95с — 166я = 5465. Надо решить это уравнение в целых числах, учитывая, что а и с — целые положительные числа. Имеем:
95с — 5465 _ «л , 13+ 95с 13+ 95с а== _ --33 + 1б6 , • 16б =Р,
166/?—13 0 , —24/7-13 —24/7 — 13
с = —95-~2р +-95-• -95-= q>
-950-13 _ <у-13 0-13
/> - 24 "~" * ^ 24 1 ~~24 ~"~S'
q = 24s + 13, /? = -96s —52+ s= —95s —52, с = — 190s — 104 + 24s + 13 = — 166s — 91, <z =: — 33 — 95s — 52 = — 95s — 85.
Отсюда s= — 3, —2,—3, ... Полагая s = — 1, находим с = 75, a = 10; значит, 6 = 75, ^ = 10. Из 100 —83х = 75 + 0,1 находим х = 0,3 руб = 30 коп. Предположения s= — 2, —3, ... не дают решения задачи. Не дает решения задачи и предположение 6 —а = 64. 58. 1809 г. 59. 1810 г.
Глава VL Уравнения и неравенства высших степеней § 1. Квадратный трехчлен
1. 2а и 2. 2. Если а2 — Ь2 Ф 0, то корни —и —\-r . Если | а | = 1 6 | Ф 0, то уравне-
а — о а + о
ние имеет один корень -J^ . Если I а \ = 1 6 1 = 0, то уравнение не имеет корней.
3. Если а Ф 6, то уравнение имеет корень а ~^ -. Если а = 6, то уравнение не
имеет корней. 4. Если я 0, то уравнение имеет два корня: —2а и За. Если а = 0, то уравнение не имеет корней. 5. Если афО, b Ф0, а Ф 6, то уравнение имеет
#2 і ?2 а2 I ?2 ^
два корня: —^—, —^—. Если а = 0, 6 0, то уравнение имеет один корень -^-.
Если 6=0, афО, уравнение имеет один корень ~. Если а = 6, то уравнение не имеет корней. 6. а и 6. 7. Если а2 + б2 + с2 0, то корни
— (д 4- 6 + с) ± /У(6— с)2+ (с — д)2 + (д^б7
д2 + ?2 + С2
Если а2 + б2 + с2 = 0, но я + 6 + с 0 (это возможно при комплексных значениях
а, 6, с), то уравнение имеет лишь один корень х = — -j (а + 6 + с). Если а2 + б2 +
+ с2 = я + 6 + с = 0, то уравнение не имеет корней. 8. Если а + 6 = 0, аб 0, то уравнению удовлетворяет любое значение х, кроме х = 0. Если а + 6 Ф 0, аб 0, то уравнение имеет два корня: —а и —6. Если ab = 0, то уравнение не имеет кор-
6 + с — 2а
ней. 9. Если с + а — 26 Ф 0, то уравнение имеет два корня: 1 и с^ь^йьш
Ь + с~2а
Если с+ а —26=0, но b Ф с% то уравнение имеет один корень: х = — g ^ ^%. •
444 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
Если с-j-a — 2b = 0, a -\- Ь — 2с = 0, т. е. а = Ь = с, то уравнение становится тожде-
ством. 10. Если а2 Ф Ь2, то уравнение имеет два корня:--—у- и--¦-
и -\- о а-\- Ь
Если а = 6, то уравнение имеет один корень —-^-. Если а = — 6, то уравнение не имеет корней. 11. Если афО и аф —1, то уравнение имеет два корня: ~а JL и
а
--а\\ ' ^СЛИ а ~ ^ Т0 УРавнение имеет °ДИН корень 0. Если а = —1, то уравнение имеет один корень 2. 12. Если а ф0 и а Ф —2, то уравнение имеет два корня:
а — 1 а 4-1 „ л 1 ^
- и---jpy . Если а = 0, то уравнение имеет один корень — . Если a=—2,
CL а ~т~ А А
з
то уравнение имеет один корень -^-. 13. Если а Ф I и а Ф—2, то уравнение имеет два корня: * % и ^ + * . Если а = 1, то х = 0. Если а = — 2, то х = — \-.
14. Если а2 б2, то корни a + b и ^ ^ . Если а = — Ь, то х = 0. Если а = Ь,
то х = 2а. 15. Перенося все в левую часть и приводя к общему знаменателю
(x — a)\(b + c)x+b2 + c2] л получим fr) 4- с) (* + 6 -f с) = К°РНИ числителя бУДУт корнями данного
