Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
.......... (2)
— ^.3 + 3^.4-/3^.5=0,
— bn_2 + 3/3„_3 — /3„_4 = 0,
— bn_x + 3bn_2 — Ьп_ъ = 0,
— 1 + 3^.,-^.2 = 0; тогда д*/7 определится из уравнения
(— ^1- /3/2_j + 3J^n = A1A1 + ^2 + ... + 0/1-1?!-I +«л- (3)
Перепишем систему (2) в виде
Ъ2 = 3^1 — bQ, b3 = 3O2-Zj1, bA = 3b3 — b2,
bb-=3bk^i — b
k-i ~~ °k-2*
bn-X=3bn_2 — bn_3, bn = 3/3/z-i — bn-2,
где для симметрии положено b0 = bn = 1. Будем искать решения рекуррентного
соотношения
bk = 3bk_l — /3fc_2 (5)
в виде /3А = л'^ (более подробно этот метод изложен в главе IX — «Последовательности^): xk = 3xk~l—xk~2, или X2 — Зл-+1=0, X = —--тр"~ • Итак, рекуррент-
/З + тЛбХ*
ному соотношению удовлетворяют последовательности bk = I—-1 и
bk = I—2-/ ' а в силУ однородности этого соотношения и линейная комои-
нация этих решений
Определи^ р Yi Q так, чтобы выполнялись условия Ь0 = Ьп-=\, т. е. /? + 0 = 1, —2-) ""Ь # (—2-/ == отсюд-а находим /? и #; подставляя в (6), получим
e-^)'[,-(^/j+(^)'[e-±^r-.]
Ответы. § 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ
Теперь из уравнения (3) находим хп\ или
4-
Замечание. Знаменатель 3 — — bn_j преобразуется так:
Цр[,-^>^[^'-,1
+ ^ 5 j" _ ^3 —У 5j"
з^)"_з(^_^ + (-Я"-'_(-0)"
3-/5 ^3 + У5^" ^3 —V5 3 + ^5,^3-/5^"1
^3 + ^5^" _ ^3-/5^'
438 Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
-/3
Значения для ^ можно записать в виде
V5 (^2+1)" (^?"1)"
^[m"-(^)T
,, Kptif. p^f+(q^jp _ (gpi)*-]
33.
/= 1. 2. З, .., л.
_ д (Ci + Сг + • • • + Cn) — с, \(п — I) a + b]
(a-b)[(n-\)a + b\ = a(d+c2 + ... +Cn) — c2\(n — l)a + b] (a-b)[(n-\)a+b]
a (C1 + C1 + ... +c„) — cn[(n — l)a + b] (а-*)1(я-1)«+*]
34. Решение. Перепишем данную систему в виде:
3(х, + х2+ ... + Xn) + 2 (U1X1 + а2х2 + ... + апхп) = 3 + 2Ь, х> + х2+ ... + хп-\-3(а^хх+а2х2 + ... +OnXn) + + 2^ + 4?+ ... +а\хп) =1+36-)-262,
?l+'?2+ ••• + вЛ + 3 (4*i + а2*2 + ••• +4-*"/») + + 2 (а?дгх + A23Jr2 + ... + 4 Xn) = Ь (1 + 36 + 26»),
а»-3^ +«Г3**+ ••• +"ГЧ+зК-^ + «2'Ч+ ... +<' 2Xn)+
+ 2(^-1X1 + 4'1X2+ ... +<-^я)=6л-3(1 + 36 + 2й2), X1 +U^x2+ ... +^-2^ + 3«-1^ + ^r1x2+ ... +а«-ххл) = Ъп-\\ + Щ
и положим
*1 + *2 + ... +Xn = X1,
аххх +а2х2+ ... + ол*л = AT2.
а\хх + <%Х2 + ... +OnXn = X3,
Ответы. § 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ 43?
Тогда система примет вид
3Z1 + 2Z2 = 3 + 2Ь, Z1 + 3Z2 + 2.Y3 = 1 + ЗЬ + 2Ь2, X2 + 3Z3 + 2Z4 = b + 3b2 + 2Ь\
Хп-2 + SXn^1 +2Xn = Ь"1* + ЗЬп1* + 2Ь»-*, Xn^x + 3Xn = bn^ + 3b^;
полагая,
Z1-I=^1, X2~b=z2, X3-b2 = z3, Xn-bn-i=zn,
получим:
3*, + 2*а = 0,
*i + 3z2 + 2z3 = 0, *2 + Зга + 2z, = 0,
zn_2+ 3Zn^1+ 2zn = 0, *л-і + 3*л = 0.
Отсюда
^ = -3^ = -(22-1)? ^-2 = - 3*л_, - 2*л = 9гл - 2z„ = Izn = (23 - 1) zn, zn_3 = — 3zn__2 — 2гл. , = — 21*л + Qzn = — 15z„ = — (24 — 1) zn% zn^, = - Згл_3 - 2zn_2 = 45zn - Uzn = 3Izn = (2* - 1) _*л.
*2 = - 3z312z4 = (-If-2 (2«-i - 1) *л> Z1 = -3z2-2z3 = (-1)*-« (2"- 1) *л.
Теперь из первого уравнения 3zx + 2z2 = 0 находим 3 (—1)я~2 (2п~1 — 1) zn + + 2 (—I)"-1 (2я—1) гл = 0, или [3 (2я-і — 1) — 2 (2я—1)] *л = 0, или (—2я-1—!) zn=0, откуда zn = 0, а значит и Z1 = z2 = z3 = ... = Zn^x = 0. Таким образом,
Xx + X2 + X3+ ... +Xn = I,
аххх+а2х2 + а3х3-\- ... + CinXn = Ь, CT1X1 + а\х2 + alx3 + ... + а\хп = Ь2,
anl~lxl + an2~xx2 + a3n хX3 + ... + ann~l Xn = Ьп~\
Умножим первое из уравнений на рь второе — на р2, третье — на ръ, ... и предпоследнее— на рп-Х\ последнее оставим без изменения. Сложим все полученные уравнения и выберем рх, р2, р3, .... рп„х так, чтобы коэффициенты при ^2, х3, ..., Xn обратились в нуль:
Pi + Ci2P2 + аЬг + - - - + 4"2Z7ZZ-I + 4"г = °> )
Pl + *zP2 + ab>Z+ ••• +аҐ2Рп-1 + аҐ1 = 0' I (1)
.......................I
Pl + "nP2 + *nP*+ +CVl + C1=a0- J
Тогда
(Pi + CixP2 + dips+ ... + a?~2Pn-i + аПГ1) xi ^
= Pl + bp2 + b2p3+ ... +bn'2pn^ + bn'\ . (2)
Из соотношений (1) следует, что а2, а3, ..., ап — корни уравнения sn~l + Pn^xsn~2~r + Рп-2$п~ъ+ + PsS2 + Р2$ + Pi = 0, так что левая часть этого уравнения тождественно равна (s— а2) (s— а3) ... (s— ап) и уравнение (2) примет вид (ах —• а2) (Ci1 — аъ) ... (ах — ап) Xx = (b — а2) (Ь — а3) ... (Ь — ап\ откуда
(b — CL2) (b — a3)...(b — ап)
440 Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Аналогично:
х _ (b — ax)(b — a3) ... (b — an) ' 2 (а2 — ах) (а2 — а3)... (и2 — ап) %
х = (b — ai) (b — a2)...(b — ап_х) п (Un-U1)(Un-U2) ... (ап — ап_ху
35. Необходимое и достаточное условие совместности системы: O1O2 + я3я4 = = ^1O3 + а2а4 = а2аг 4 o4a1. При этом условии:
Xx =
1
2
[A1 (д2 + аА)
— а2а4\,
X2 =
1
2
\а2 (и3 + а4)
— Я3Я4].
X3 =
1
2
\а3 (и2 4 я4)
— #2^4].
ХА =
1
2
[a4 (а2 -f а3)
— CL2CL3}.
35. Положение ОЧеВИДНО, ЄСЛИ ВСе КОЭффиЦИеНТЫ 01, O2» ^3. •» #m #2» #3» #Я
равны нулю. Предположим, что ах Ф 0, тогда и Ьх Ф 0. В самом деле, если бы было Ьх =0, то хх = 1, Jf2 = O, ^z1 = 0 являлось бы решением второго уравнения, но (в силу ах Ф 0) эта совокупность чисел не будет решением первого уравнения. Рассмотрим решение X1= — ^2-, X2 = \, X3 = 0, х4=0, Xn = O первого
