Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения. По условию это решение и второго уравнения, т. е. — bx — 4~ b2 = 0,
откуда b2 = — и2. Полагая — = k, получим bx = kau b2 = ka2. Рассматривая решение
(Xx CLx
Xl=-— t х2 = 0, х3 = 1, ^4 = O.....хп = 0 первого уравнения в силу эквива-
CLx
лентности, находим: — bx — -f b3 = 0, откуда b3 = ka3 и т. д. Число k, по доказаної
ному, отлично от нуля. Обратное положение. Если k Ф 0, bx = kax, Ь2 — ka2, ... ..Ьп = kan, то уравнения аххх + а2х2-\- ... -\-ипхп = 0, bxxx-\-b2x2-\- ... + bnxn = 0 эквивалентны. 38. Если Al + Вт + Cn Ф 0, то система имеет единственное решение; если Al 4 Вт + Cn = 0, Aa -\- Bb -\- Cc -\- D Ф 0, то система несовместна; если Al 4 Я/я 4- Cn = 0, -Да + Bb -j- Cc + D = 0, то система неопределенная; ее решения X = а 4 It, у = 6 4- mt, z = с 4- я^, где ^ — любое число. 39. Если хотя бы одно из трех чисел: bxc2— Ь2сх, с\а2— ^2аъ аФ2 — &2ЬХ, не равно нулю, то все решения данной системы даются соотношениями: х = (bxC2 — b2cx)t, у = (сха2 — c2ax)t, Z = (U1D2 — a2bx)t, где t принимает все значения. Если все указанные числа равны нулю, то данная система эквивалентна тому из двух уравнений, в котором не все коэффициенты равны нулю. Если, например, bxc2 — b2cx = сха2 — с2ах = ахЬ2 — а2Ьх=0,
, л » Ьху 4- cxz
ах Ф 0, то все решения данной системы х =---—!-, у, z, где у и z — люоые
ах
числа.
§ 3. Линейные неравенства
5 3 1 1. X > •—-?>-¦ 2. X > 4 3. X < — у . 4. — 5 < X < 3. 5. —3 < х < — у. 6. Система несовместна. 7. Если а > 0, то х >--— ; если а < 0, то х < —- . Если а = 0, b > 0,
а а
то неравенство удовлетворяется при всех значениях х. Если а = 0, b <;0, неравен-
а2
ство не имеет решений. 8. Если —1 < а < 3, то х <--=¦—п-». Если а < — 1
иг — Za — о
а2
или а > 3, то X >--5-~--5 . Если и = 3 или а = — 1, то х — любое действи-
а2 — 2а — 3
тельное число. 13. — 4 ~ = 0-
01 02
Ответы. § 4. СОСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
441
§ 4. Составление линейных уравнений П. 1. Составление линейных уравнений с одним неизвестным
Vt
¦. 2. Через 4 года. 3. 1120 км. 4. 50 км/час. 5. 20 км/час. 6. В 11 час. 45
V1-V • --------------------- - <------- -• - мин-
вечера. 7. 30 км. 8. В результате второго деления первый получил больше, второй столько же, третий меньше. Полученные суммы: 72 руб., 60 руб., 48 руб. или
36 руб., 30 руб., 24 руб. 9. 5 -Ц^Е-. 10. f=M»±?L. ,і. 60кг. 12. 20.
P-V(I mb — na (р —г) (I-Vq)
13. . 14. Девять частей первого на 35 частей второго. 15. 187, 5 кг. 16. Само-
д* -f- vt — Tw
леты сойдутся в момент времени —1—-—-, считая от начального отсчета времени. 17. 40 час. 18. 10 л. 19. 3 час 20. 27 дней. 21. 17°, 25. 22. 57 км/час. 23, 1736 мм, с точностью до 1 мм (с недостатком). 24. Расстояние от А до завода
^ 2000/? 4- /г (а + Ь) и (3v-\- и)
аР_ ___ H (і__я_\ о Iff
Г 100 1001 100/ or P Я Iq0 118,8 л. 27. / 1 ^ V-96. 28.--—-. 23. 20%. 30. 10 час.
100/
31. 7 час. 50 мин. 32. 44 раза. 33. 10 ,час. 34. 3 км/час. П. 2. Составление систем линейных уравнений с несколькими неизвестными
1.v = г——г. Z = V , 2. 4 км/час, 3,5 км/час. 3. 80 яг, 60 /гг. 4. 4 л:ж. 5. 89 кг меіи — tj Z2 — м
и 35 кг цинка. 6. -7-7—;—г час. 7. В 1 час дня. 8. 4 км. 9. 600 км. 10. В гору
с — а (а \ в)
З кмічас, по ровному месту 4 км/час, под гору о км\час. 11. ^ gZjQ* ^ JfZT(J *
С < Л < 5 или С > Л > В. 12. Объем ^?-zrd . вес • Эт0 верно, если обэ
дроби положительны. Задача неразрешима, если хотя бы одна из дробей отрицательна. Если D = d, q Ф Q, задача неразрешима. Если D = d, Q = /7, то взс /? и
<0 100(10000 — да'?) объем V связаны лишь одним соотношением p-fdv = q. 10. (in + п) -V 2тп '
100с —6^5 - 100с — aps j е _ 0у|Л fC ^с /я.
14в -г-JLL м по а руб. и —=-— л* по Ь руо. Ь. 240. 16. СЯ =---г— +
ap — bq Vу bq — ap FJ vl + v2\bO
+ 2d), CT = ——^2-^ + 2d). 17. Точка А проходит в первый час 112 м,
J (^i 4-^2)2V 60 /
в последний —152 м. Точка В проходит в первый час 115 м, в последний —127 м. 18. 108 г свинца. 19. 12 кг руды, содержащей 7296 железа, и 30 кг руды, содержащей 5896 железа. 2Э. 438 и 102. 21. 50 и 75. 22. 32 человека, 500 руб 23. Через 3 часа 20 мин. 24. 60 км, 5 кмічас и 4 кмічас. 25. Длина спусков 10 км,
подъемов 16 км. 26. -уу лгж. 27. 1 .^,2 . II,о кгкЬ кг. гъ. -7h~p~^~nq-*
29. Вес сосуда 50 г. Вес воды в А равен 150 г; вес воды в В равен 200 г.
30. AB = 3a — b, V1 = —~—, v2 = ~.3\. Количество свежих грибов первого вида
442 Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
количество сушеных грибов первого вида
1-А 100
cq-
100
i-A ;
і , 100
100
количество свежих грибов второго вида
_с_
1-А ; 1 I 100
~ZA
1 t5o
количество сушеных грибов второго вида
1-А
100
с-
100 1-А '
100
32. 50 лет отцу, сыновьям 10 лет, 15 лет, 20 лет. 33. В гору:
\U V j 1 U \У W J ' \W U J
