Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Глава V. Линейные уравнения и линейные неравенства
§ 1. Линейные уравнения
1. X1 = — х4, X2 = Sx4, X3 = — Зл-4. 2. Система несовместна. 3. Система несовместна. 4. X1 = 0, х2 = 1, X3 = 1, х4 = 5. 5. Xi = X2 = лг3 = X4 = х5. 6. .v1 = X5 + X6 — 1,
X2 = Х$ — Xq + 1> = Xq — X$ — 2, X4 =2 — jc5 — Xq. 7. Xi = jc3 = jc4 = л*5 = . . .
... = = 1, X2 = 2 — л. 8. Рассмотрим многочлен (jc— 1) (х — 2) (je— 3).. .(jc— п). Производя перемножение, представим его в виде (jc— 1) (х—2) (х — 3)... (х — п) = = хп + axxn~l + а2хп~2 + ... + #/2-1*Полагая здесь поочередно jc = 1, * = 2, jc = 3, ..., jc = п, получим:
1-Ь*і + *а+ ... +ая = 0,
2n + 2^ai+2n-2a2+ ... + ал = 0,
лл + /Z^-1A1 + пп~2а2 + ... + дл = Q
или
ял дл дл дл ал
І і 2 Д/2~1 і 92 ап-2 і _i_ 2Л ~- ^2 і 2л -1 ді і 2Л ^ Q
Cin 1 д„ ал дл 1 дл
Отсюда видно, что решение данной системы будет
V _ ап-\ „ _ „ Al . 1
Таким образом, для решения заданной системы надо выполнить умножение (jc—1)(jc — 2)(х — 3) ... (jc — /г); тогда мы будем знать аь а2, ап, а затем хи X2,...,Xn определятся формулами (1). Отметим, что, например: ап = (—1)п п\, ап„х = (—\)n~l sn-i, где Sn^i — сумма всевозможных произведений из чисел 1, 2, 3, п таких, что в каждое произведение входит п—1 множителей и т. д. Заметим, что приведенным рассуждением не установлена единственность решения. 9. Вычитая почленно из второго уравнения первое, из третьего — второе и т. д., а из последнего — предпоследнее, мы получим систему п—1 уравнений с п—1 неизвестными хи х2, Jc71-i той же структуры. Повторяя это по отношению к полученной системе из п— 1 уравнений, мы опять получим линейную систему той же структуры, но уже с п — 2 неизвестными и так далее. В конце
2 • 3
концов мы придем к системе Jc2 + Jc1 =2, X2 + 2Jc1 = —~— = 3, откуда Jc1 = jc2 = 1.
432 Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Так как первые уравнения предшествующих систем имеют вид *
X1 -f- х2 -f- X3 = 3, Х\ + *2 + *з + = 4,
то ^r3 = лг4 = ... = Ar72 = 1. Отметим еще формулы, которые получаются при подстановке X1 = X2 = ... = хп = 1 в уравнения данной системы (начиная со второго):
Cj +с»+ ... +с»-с«+1.
C2+ С+ ... + CJj+1 = C^+2,
Cl + C43+ ... +сз+2 = с^
+3
и вообще
сл-1~гил ' ••• "T ^2л-2 — с2л-1-10. X1 = — 1, X2 = 1, X3 = — 1, X4 = 1, . . ., X99 = — 1, X100 = 1.
§ 2. Линейные уравнений, содержащие параметры
ч с / п -л- 7 12(.2+ 1) 4 12 _ р
а) Если афО и аф--- то х = 0 , _ , у = ^—-^-, z = o—--=-. б) Если
7 3 За + 7 За + 7 За + 7
7
а = — -g-, система несовместна, в) Если а = 0, то г — любое число, х = z,
1 «
у —----- , Z=O.
4-а J а—4
б) Если а = 4, система несовместна, в) Если а = — 3, то х — любое число,
4х — 1 19 — 7х 0 . . л , 0 а 4- 1 а + 3
ay =-^— , z =-л-. 3. а) Если афО и а Ф — 3, то х =-, у — —1— ,
оо а а
2 (а 2)
^ -=--ь—:—L в б) Если а == 0, то система несовместна, в) Если а = — 3, то у — лю-
а
2 2
бое число, x = y-f-K-,2'==y--. 4. a) Если а ф0, а Ф \, а Ф —1, то х = у =
— ^ = 1, б) Если а = 0, то система несовместна, в) Если а = I1 то система
а
неопределенная: z — любое число, х = z, у = 1. г) Если а = — 1, то система неопределенная; у — любое число, X = у, Z = — 1. 5. а) Если а Ф 0, а Ф 1, b ф0,
то система имеет единственное решение: х =--г-, у = ——г. б) Если а = 0,
1 а -— 1 ' а — 1 '
ЬФО, то X — любое число, у = 0. в) Если а = 0, 6 = 0, то х и у—.любые числа.
г) Если а Ф 0, 6=0, то х = 0, у — любое число, д) Если b = 1, 6 0, то система
ы б —2х + 4г несовместна. 6. Решение. Из первого уравнения системы находим у =-^-.
Подставляя это значение у в два остальных уравнения, после упрощений будем иметь
2(a — b)x — b(a — b)z = 2(a — b), (b — 2а) x~}(5a — b)z = 4(b — a). ^
а) а = b. В этом случае первое из уравнений (А) является тождеством, а второе принимает вид — ах f 4az = 0. Если а = b = 0, то и это уравнение выполняется при любых X и г. Следовательно, если а = b = 0, уравнения (А) будут тождествами
5 — 2х + 4z
и. значит, все решения данной системы х, у =-^-, z, где х и z — произвольные числа, б) Если а = Ьф0, то уравнение —ax-\4az = 0 может быть переписано так: x = 4z, у = --(5 — 2х -j- 4z) = (5 — 4z). Все решения: х = 4z, 5_
у —-— 5 где 2 — произвольное число. Если а — ЬфО, то уравнение 2 (а — b) х —
о
5
— 5 (а — b) z = 2 (а — 6) можно переписать так: 2х — 5z = 2, откуда х = 1 -f- z,
* Эта система уравнений вместе с первым уравнением данной системы эквивалентна данной системе.
Ответы. § 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ „ . 433
а следовательно, уравнение (6 — 2а) х + (5а — b) z = 4(6 — а) принимает вид
(6 — 2а) + A ^ + (5а — 6) z = 4(6 — а) или 36z = 2 (36 — 2а). в) Если а —&=?0f
6=0, 36 — 2а 0, то система несовместна, г) Если а — Ь Ф 0, 6 = 0, 36 — 2а = 0,
