Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
то S1 = X1 < S2 = х2. 39. а < —3 или а > 0. 40. 2 < а < 5. 41. —2 < а < -i.
о _ __
42. — Y<a< 15— 4J^17 и а> 15+4/17. 43. При а = — 1, X1 = х2 = — 1; при
2 2 1
— 1 < а < — -g-, X1 < — 1 < X2 < 1; при а = — у только один корень, равный -g-;
2 1 1 1
при —~j < а < — у, — 1 < Xj<l < х2; при а = —у, X1 = I1 X2 = 2; при —у <
23 23 7
< а < — -gj , 1 < X1 < х2; при а = — -^-, X1 = х2 = -g-. При остальных значениях
1л 23 \ ^ b2 — 2ac АЧ Забс —б3 а I а <—1 и а>— -^y-J — корни мнимые. 44. а) ——2—; б) -^-;
A4 — 4асб2 + 2а2с2 — б5 + 5асб3 — 5а2с26 . Забс — б3 _е ч б3—7абс + 2а2с в)-^-J О-31_-; д)-. 45. а)-~3-;
2ах + б . ч 9с — 36 + а ч б2 — 2ас ла 0 л ~
б> ^ + ^ + с' в) 47+ЖТШ; Г) ^1 = -3' Д2 = 9- 47- в==6
(при а = 0 оба уравнения имеют по корню, равному нулю). 48. ах = 0, а2 =--,
2
а3 = д-. 49. Все действительные значения а, при которых корни действительны,
таковы, что —< а < 1. Все мнимые: а = а± У а (За — 2) і, где а — действитель-
2
ное число, или меньшее 0, или большее у. В последнем случае действительный
корень уравнения равен 2а. 50. Рассмотрим последовательность, определенную рекуррентным соотношением ап — 6ал_і + ап-2 = 0- Этому соотношению удовлетворяет ап = хп, где X — корень данного уравнения (хп — 6xn~l + х*~2 = 0, X2 — бх + 1 = 0), а также ап = х\ + х", где X1H X2 — корни данного уравнения. При п = 1 числа ах = X1 + х2 = б и а2 = х\ + х^ = (X1 + X2)2—2X1X2 = 36—2 = 34 — целые; значит, а3=6а2 — ах будет целым, а4 = ба3 — а2 тоже будет целым и т. д.; ах иа2 на 5 не делятся; а3 = xf + X^ = (X1 + X2) [(X1 + X2^-Sx1X2J=O • (36—3) =6*33 не делится на пять. Предположим, что ап = х\ + х\ при каком-нибудь я делится на пять. Так как ап = 6ап_х — ал_2 = San^x + %-i — tfrt-2 = 5a„_j +6a^_2 — — ал_3— ал_2 = 5а/г_1 + 5ал_2— ал_3, то ал_3 также делится на пять, art_6 делится на пять и т. д., и значит, а3, или а2, или at делится на пять—противоречие.
51. Положительный корень Р ~^ ^ < г» 0ТКУДа V^P2 + 4а < 2г -г р. Отсюда
/? < 2г и далее /?2 + 4a < 4r2 — 4rp + р2, q < г (г — р); значит, р < г. Из неравенств р < г, q < г (г — р) следует, что р может принимать значения г — I1 г — 2, г — 3, ...
Ш Ответы. Алгебра. Гл. VI; УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
...,3. 2, Ї, a q < r(r — p) при каждом выбранном р. Ответ: (г—1) (~--lj.
52. У к а з а н и е: 4 (х2 + 5х+ 16) = 4л:2 + 2Ox + 64 = (2х + 5)2 + 39. Для Того чтобы это выражение разделилось на 169, во всяком случае необходимо, чтобы (2^ + 5)3 делилось на 13, а значит и на 169; но 39 на 169 не делится. 53. Прежде всего, по крайней мере, одно из чисел bu Ь2, Ьъ должно быть отлично от нуля. Далее: дискриминант может быть преобразован к виду Д. = — (а2Ьг—агЬ2)2—(агЬх — ахЬъ)2 — (axb2 — а2Ьх)2. Отсюда искомое необходимое и достаточное условие а2Ьг— аьЪ2 =
¦в= щЬл — axb3 = ахЬ2-^а2Ьх=0. Пусть Ьх Ф 0; полагая= X, имеем A1 = X^1,
\b2bx — a2bx = 0, —" а2 = 0, а2 = \Ь2, а из афх — A1^3 = 0 найдем A3^1 — X^1A3 = 0, ^3 = Щ. Квадратный трехчлен приводится к виду (b\ + b\ + ^f) (х2 -f- 2Хд: -f X2); его корень jc =s — X. В случае комплексных значений ах, bu a2t Ьъ а3, Ьъ приведенные
ab + cd
здесь выводы, вообще говоря, не верны. 54. Если а2 -f с2 Ф 0, то при х « -
(be — ad)2 п Л
2 . 2 . Если я = с = 0, то данное выражение равно
я2 + с2
наименьшее значение равно- 9 . 2
?2 + д"2' при всех х. 56. ?2 + Ьг2Ф 0, яб' — a'b = 0. Все верно и в том случае, если коэффициенты комплексные. 57. I1 1°. Геометрическое место точек таких, что уравнение Fix) = 0 имеет двойной корень. Уравнение F (х) = х2 — sx + rp = 0 имеет двойной корень, если его дискриминант A = S2 —4р равен нулю. Точка Af (s, р)
описывает, таким образом, параболу (II); р = -^-, осью симметрии которой является
ось Ор\ Os — касательная в вершине (черт. 79). Если M лежит внутри параболы (П),
то Д < 0 и F (х) = 0 не имеет действительных корней; если точка M лежит вне (П), то Д > 0 и F Ix) = 0 имеет два действительных различных корня. Геометрическое -? место точек M таких, что F(x)=o имеет корень + 1. Уравнение F(X) = O имеет корень +1, если F(\) = I — s + р = 0. Это уравнение определяет прямую (D)1 пересекающую ось Os в точке с абсциссой s = 1, а ось Op — в точке с ординатой
..." ' •• • :/ $2
р = —1. Так как'уравнение 1—s-j- —= 0 имеет двойной корень 5 = 2, то прямая (D) касается параболы (77) в точке ц(2, 1). Прямая (D) делит плоскость (H) на две области: одну — содержащую начало координат, в которой F (1) = 1 —5 + р>0, другую^ в которой F(\)<0. Если точка M находится в области, содержащей О, уравнение (1) или не имеет действительных корней, или имеет два корня таких, что +1 лежит вне интервала, ими образованного; если точка M лежит во второй области, то уравнение (1) имеет два действительных корня, таких, что + I лежит между ними. Геометрическое место точек M таких, что уравнение F (х) = 0 имеет корень ґ—1. Уравнение (1) имеет корень —1, если F(—1) = 1 -f s + р = 0; этр геометрическое место-точек M есть, следовательно, прямая (D'), пересекающая <У$ в точке с абсциссой s =—1, а прямую Op — в точке с ординатой —1. Так как
