Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
а л: = <2 + -г- + — —j- —-V 1^. а) Если ^=^=0, Ьфс, сфа (разумеется,
\а о с b с J
а Ф d, b Ф d, сфа), то система имеет единственное решение: x = (b — c)(a — d) [d (Ьфс) — be], y = (c — a)(b — d) [d (сфа) — са], z ^(a — b)(c —d) [d (афЬ) — ab],
б) Если d = 0 и выполнено хотя бы одно из неравенств а Ф Ь, Ьфс, с Ф а, то X = t (Ь — с), у = t (с — a), z = t (а — Ь), где t — любое число; б) если среди чисел а, Ь, с есть только два равных между собой, например, а = b Ф с, то х любое число, у = —х, z = 0; г) если а = b = с (Ф d), то у и z — любые числа, а * = — у — г. 19. Переписывая данную систему в виде
с + Х
афі
сфр афу.
с ф v
аф-
с + Х ft + X
У + г
= сф\
¦* +
Сфр
Ьфу.
уфг
= с + Р,
Г I
С ф v
уфг
= С ф v
X \
Ьфч
и вычитая почленно из первого уравнения второе и из первого третье, получим (после сокращения на 1 — рф0 и X — ч ф0)
(а —с)х (Ь — с)у -
(а + Х)(а + ц) 1 (ft+ X) (ft+ ц) '
(а —с)х , (Ь — с)у _ (a + X)(a + N) ' (ft+ X) (ft+ jx) ь
г. (a — с) X (b — c) v
Полагая - д ^ • = хи ^ = У и получим систему той же структуры, но уже
с двумя неизвестными: -~--f- ~~ = 1, -^т— + т^т— = 1 или Ь "f" л:, + v1 =
o + (jL'ft + (j. ' а + v 1 ft + v a + (л /l
, , 6 + v _
= g + д v *і + Уі = о ф v. Вычитая и сокращая на jji—-v 0, получим
(a + ft) (a + v) . (a + X) (a + ft) (a + v)
Jt1 = _л— r/v —следовательно, л: = v , *Х, ч ; аналогично
а — о {а — ft) (а — с)
«,„ (Ь + Ц (Ьфр)(Ьфч) (с+Х) (c + fi) (с+ у)
^ =-(6-,д) (ft-c)-. * =-(c_fl) (c-^h) ' Этим приемом можно решить систему из п уравнений с п неизвестными, имеющую ту же структуру, -что и заданная система. Правильность формул, которые в случае системы из п уравнений с п неизвестными аналогичны указанным выше, может быть установлена и методом полной индукции. 20. Система несовместна. 21. Система в случае
и + V ф0 имеет единственное решение: х = a v~~u у — ft uv~}~1 г = с uv— 1
ъфи J V \ а уфи
Ответы. § 2. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТРЫ 435
В случае и + V = 0 система несовместна. 22. Система несовместна. 23. Система имеет единственное решение х = YP (и + У = # — v), z = 2иі/. 24. а = 5.
25. При всех значениях А, кроме X = I и X = —Решение: X4 = I—x1 — х2 —
— X3»— x5,
Ix1 — Зх2 + 5х3 — 1 X1 + X2 + X3 + X5 + Зх5: X2x1-X2 + Зх3+2х5-2; (X + 1) x1 - 2х2 + бх3 + 4х5 = 2, X2x1-х2 + 3х3 + 2х5 = 2; х2 = Х2х1+Зх3 + 2х5 —2, (X + 1) X1 — 2X2X1 — бх3 — 4х5 + 4 + 6х3 +4х5 = 2, (1 +X —2X2) X1 = — 2.
Это уравнение не имеет решения, если 1 + X — 2Х2 =0, откуда X1 = 1, X2 = — ±.
26. Система совместна при всех значениях X. 27. с = а + Ъ. а) Если ЬфО, то х = 0, у = 2b, Z = 2а\ б) если b = 0, а Ф 0, то х = 0, у = 0, г = 2а; в) если а = b = 0, то у и г —любые числа, а х = — у —-г. 28.
Ді+а2+ ... + Cin х^ п-Г---йи .
_ Al +^2+ - - • + Cln у- _ ^1+^2+ +?
29. X1 = a1 — а0, х2 = a2 — 2ах + fl0, X3 = a3-3a2 + 3A1 — а0,..., Xn = ял —Cj^1-1 + 4-Слал_2 + ... +(—1)?. 30. Умножим обе части первого уравнения на Ьи обе части второго уравнения — на Ь2, обе части предпоследнего уравнения — на ЬПт.х и сложим почленно полученные уравнения. Выберем bu Ь2.....?л-і такими, чтобы
Ьх + Ь.Л + b6a\ + b,4 + ... + + апГХ = 0,
*i +V3+ Va+Va + ... +bn^-2+a^l=0t (Д)
*i + V* + v*+v* +... +*«-i*r2+*rls=<*
тогда после сложения получим уравнение + + Vi + ••• +^/z_ia?~2 + -f a?"1) X1 = ^1. Из соотношений (А) следует, что а2, а3, ал суть корни уравнения zn-' + bn_xzn-2+ ... + b3z2 + b2z + bx=0, так что-г""1+^л_,2я-2+ ... . .. + 63z2 + 62z + Jr1 = (г — а2) (z — л3) ... (z — a72); отсюда + M1 + Ьга\ + .. .
... + ^/-4er1==(fli-fl2)(ei-fl3)"'(fli-fl/i). так 4X0
X (— I)^"1 a2a3 ... a^
l" (a1-a2)(a1-a3) ... (a1-ал) '
аналогично
_ (-1^"1a1a3 ... ап_' ' х ~_____(-If1a1a2 ... ап_х_
2 (a2-a1)(a2-a3) . .. (a2- Qn) "" ' П (ап —CL1)(Cln —U2) ... (ап —Un^1) '
31. x1 =а(1 + л •2^ "1X x2 = a(1+/z-2'2~2), .... Xn = a (I + л). При л = 4 система имеет вид
Xj — X2 — X3 — X^ = 2 а,
— X1 + Зх2 — X3 — X4 = 4а,
— X1 — X2 + 7х3 — х4 = 8а, — X1 —X2-X3 + 15х4 = 16а;
436е Ответы. Алгебра. Гл. V. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
ее решение: Xx = 33а, X2 = 17я, х3 = 9а, X4 = 5а. 32. Решение. Определим одно из неизвестных, например, хп. Для этого умножим первое из уравнений данной
системы:
"— + Зхх — X2 r==z a j,
— Xx —\~ Зх2 — Af3 = а2,
— л*2 ~~Г* За*з — X^ = #3,
--*Л-3 + ЗЛ"я_2 - АГ/2- 1 = 0/1-2»
-Л'л-2 + Зл*/2- 1 -Xn = <2Л_ !,
—-?-. + 3^ — X1 = дл
на ^1, второе — на Ь2, третье — на Ьъ..... предпоследнее — на Ьп-^и сложим почленно полученные после этого уравнения с последним из уравнений (1). Выберем числа bx, Ь2, Ьъ, Ьп_х так, чтобы коэффициенты при хх, х2% хг, хп-\ обратились в нуль:
— b2 + 3bx — \ = 0,
— b3 + 3b2 — bx=0t
— bA + 3b, — b2 = 0,
