Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
и оно, конечно, эквивалентно соотношению VX-\-у у = V z при у = 0. § 2. Доказательство неравенств
пп
і. Указание. Данное неравенство можно переписать в виде (2п—1) *'>^7 • Далее можно
п п
установить, что (2п — 1) H > (2п — I)2 , -^7 < п2 (см. пример 3 этого параграфа). 7. Решение этого и ряда других примеров (см. ниже) опирается на следующее
неравенство: а 1 0,2 " ' "^"Д* >V^a2»• • ат гдеяі>0, д2> 0, ап >0 (среднее арифметическое из неотрицательных чисел не меньше среднего геометрического из тех же чисел). Эта теорема может быть доказана самыми разнообразными
428 Ответы. Алгебра. Гл. IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
способами. Дадим ее доказательство методом полной индукции. При л = 2, a'+fl2--Y^2 = (YT1-Ya,)2 >а пусть ".+"»+•••+«.» >
LA Yl
> Va^-Г- тогда «і+ -+««-і + «» + ^1 _ + "+' ^
^ г a1a2 ... ап , тогда л+~1--л~+1 ^
л_
> я Vfli««-- - «іі + Дя+i _ положим eie,...e„ = *<"+1>B. On+1 = / + 1. тогда
/Z —j— JL я
л + 1
я + j ---------- г ^1A2 ... апап+1 —
' я*71 + 1 + у* + 1 я _ лл:" + 1 + Уп + 1 — пхпу — хпу _
_ (* — У) — У (*я — Уя) _ (х—у) (лл:" — ул:"-' — у*хп-*-— ... — у») ~ л + 1 ~ л + 1 ~"
- (* —У)(*я —У*я~1+ *Я-~У2*Я~2 + +^ —Уя) „
"Л+1
(X — у)2 [-*"-1 +^-2(х+у)+х/2-3(х2+ху4-у2)4-...-(^-1 + ^7-2У2+...+>'я"1)1 л
: -г-_-.-.--^ О
л + 1
Ai + A2 + ... 4' ап . W--о
значит, — -—=——-¦—- ^KA1A2 ...ап. Знак равенства имеет место тогда и
только тогда, когда A1 = а2 — ... = ал. В самом деле, из предыдущего следует,
Aj 4- ?2 + ... + а„ + а„, , я ±--
что равенство -——^ ^_ j———= У A1A2 ... алал+1 возможно тогда
и только тогда, когда A1A2A3 ... ап_хап = а"+1 ; аналогично можно получить A1A2A3 ... A^-1A724j = а"; отсюда ап = ап{_х. Таким же образом доказываются равенства A1 = A2 = ... = ая. Теперь соотношение задачи 7 доказывается из тождества
Применим теорему, что среднее арифметическое больше среднего геометрического (в случае наличия неравных чисел):
2п П+}/ л (л — 1) л (л — 1)(/2 — 2)" /2(/2 — 1)(/2 —2) .. 2- Г
л + 1 > К я і. 2 1-2.3 1-2.3... л
или
2-C+» >(я + I)-V(^i/"1...(^)2.!.
8. Применить неравенство ді + ^2 ... + ^л ^ YaxU2 ... ап для чисел I2, 22, З2, л2. 9. Применить неравенство 0,1 ~^ ^2 ' Дя > Va1A2 ... ад для чисел I3, 23, З3, .... л3. 15. Указание: -± < ттт-—тт —---г- 25. Полагая
К KiK__1) к _ 1 к
л _ (2л)!! 1 цад0ДІШ /Дл+Л2 = (3/»+I) (2/2+2)2 = 12л3+28л2+20л+4 ^ ^
(2л—1)!!/Зл + Г \ ап J (Зл+4) (2л+1)2 12л3+28л2+19л+4
Но при л = 1 получаем в левой и правой части —; следовательно при л> 1 и ап+ j > 1.
nil _ п
26. См. задачу 25 данного параграфа. 27. Доказать, что /л + 1 < Yn ПРИ п > 3;
3 _ - п _
кроме того, следует заметить, что Y^ > Y2; итак, Yп принимает наибольшее
значение при л = 3, и оно равно Ї^З 28. "t-^^"2 > 6. 29. 1 + — + — + — 4-
/5 2 3 4
+ 5- + ? + у + у+g+...+»>!+у + Т + Т+8- + ^+3 +у+ Гб +
+ ! + !+±4-1 + 1 4-1 + 1 + 1+ =1+1+1+1+!+!+ ^ 16 Мб 1 16 Мб 1 16 Мб ^ 32 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^
Ответы. § 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ
429
и последняя сумма при достаточно большом числе слагаемых может быть сделана больше'любого наперед заданного положительного числа. 30. а) 300! > 100300; б) 200! < 100200 (см. задачи 11 и 19 этого параграфа). 31.
2 2* 23 24 ' 2п~1 2п
CIz-Ci2 , #4— #3 j аъ— #4 і і ап+\—ап і ап+2 — аП+1
2 22 23 ' '' * 2я""1 2п
2 22 23 2п 2п~^ 2п
= а1+^- + -^- + ^- + ... +_^ + ?2±і__5г» +ftti-e.-o,=
1 22 22 2Э 2п~ 2п 2п~ 2п
2S_2-4- — йп — 2s_2 4- ~t~ 2/3^1 —#л =25_2 1 -^- 4- йп^'1 •
' 2Л 2rt ^1"" 2Л 2^-1 '
отсюда 5 = 2--1 _ ^-п- < 2. 34. Знак равенства имеет место тогда и только
2п~1 2п
тогда, когда а — 6 — с. 35. Знак равенства имеет место только в следующих пяти случаях: a — b = c = 0, a-=b~c — \, —а~ — # = с = 1, а =— Ь =—с = 1, — я — ? — с — 1. 39. Указание. Среднее геометрическое чттсел a2cd, b2ad; c2ab и d2bc равно abed. 40. У к а з а н и е. Рассмотреть средние геометрические чисел а, Ь, с и я2, Ь2, с2. 41. Указание. Среднее геометрическое слагаемых левой части равно 1. 43. а) Знак равенства имеет место лишь при условии а = Ь.— с; б) знак равенства имеет место только при а = Ь. 46. Рассмотреть средние арифметические
чисел а, Ьу с, и чисел ~, ™, -^-. 51. с (а2 ф Ь2) > 2#?с и т. д. Первое неравенство следует из неравенства а3 -\- Ь3 > ab (а ф 6) и неравенств, полученных из него круговой перестановкой букв. 52. ъ°ф с * сфа ~т~ * ~Ь ^ ^_ ^ + * — ^ = = (? + A + c)(^ + ^ + __^_)_3 = l[(6 + c)+(c + a) + (a + 6)]X X ^ _|_ с ~г""с_иа "b?-^fr)"^ далее см. задачу 46 этого параграфа.
53. -—!— > далее см. задачу 46 этого параграфа. 55. (Ь ф с) (с ф а) (а ф
ф by— Sabc = а(Ь — с)2 фЬ(с — а)2 фс(а — Ь)2. 56. 3 (Ь ф с) (с ф а) (афЬ)< < 3 (а2Ь ф Ь2а ф а2с ф с2а ф Ъ2с ф с2Ь ф 2abc) < 3 \а3 ф Ь3 ф а3 ф с3 ф Ь3 ф с3 ф 2 1