Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
- - -------- ?,1/ = -т— =--—7— =---—-— ?2, где є — любое из трех значении
У 1, т. е. 1, -^-. Окончательно: х, 2 з = —, ? ——Г~ ? » где ? имеет
—1+//3 —1 — /і/" 3 ,'/тг-
значения 1, -~-, -<у--—, а значение радикала у а2о оерется любое, но
454 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
одно и то же в обоих слагаемых. 53. 9 (х + ^ ^x + ^x — -^J (х — I) =
= -4(л-2+т)^(^+|-т)(^ + т-|)— 4(-2+д ит- д- 0твет;
9 _1±і/*17 гг~ зг—
—1, , -g-.54. — V се , у Ьг, где є принимает значения, равные 1,
—1 + //3 1 5 —7 + 2/VJ _ M2 + JC2 4- 2axV , /д2 + х2\4 1
-2-* 5i>- ~ T' -4' 8 * 5b- і -J + Г^ЗГ"] =1-
Полагая
a2 + *2
получим (г+1)4 + (г—l)4 = 1, откуда
-с лГ~6 + ?»уб4
-1, 2, 3, 4 — ?2 ^ -O- »
(2)
где S1 и S2 принимают значения +1 и —1. Из (1) х = ~ (2 — \ ±Y (z + 1)(<г-~3)),
где z имеет одно из четырех значений (2). 57. У к а з а н и е. (х2 + Зх + 2) X X (X2 — 9х + 20) = (X + 1) (j:+ 2) (X — 4) (х — 5) = (х2 — Зх — 4) (х2 — Зх — 10);
3 + 1/^29
далее положить х2 — Зх = z. Одно из значений z будет z = 5. Ответ: -—|—, 3±/2|Т77а, 3± 1/25-4/? ^ (,+уз, (1±^), (1_П)Х
X ^ 1 ±* у . 59. При р > 0 функция х3 + рх + # возрастающая. 60. Рассмотреть
дискриминант р2 — Aq. 61. х4—49л:3 + 2л:2 + 1 = 0; имеет. Указание. Пусть хи х2, х3, X4- корни данного уравнения, тогда (х — X1)(X-X2)(X-X3) (х —х4)= хА — 7х3 + 1; значит, (х + х{) (х + X2) (х + X3) (х + х4) = х4 + 7л:3 + 1; остается эти равенства почленно перемножить. 62. х5 + 2л:4 ~f 5л:3 + Зх2 — 2л: — 9 = 0; мнимые корни имеются. 63. Первый способ. Зная X1 + X2 + лг3 = 0, X2X3 + X3Xi + X1X2 = р, XxX2X3 = — q, легко вычислить х\ + х\ + Х3, х\х\ + +¦^3-^1+-^1-^2» -*1-*2-*з* Второй способ. Искомое уравнение можно записать в виде (и3 — xfj (а3 — X2) ("3 — -*з) = 0 (где и3 = х) или, полагая f(x) = х3 + рх + q, в виде
/ (и) / (?w) / (S2w) = 0 (где s = ~І±ІІЇ), или (u3 + /?и + 0) (w3 + ври + 0) (и3 +
+ г2ри _|_ gr) — о, или, выполняя умножение (u3 + q)3 + (pw3) = 0, х3 + 3#х2 + (3q2 + +р3) X + q3 = 0. 64. В решении задачи № 10, гл. I, § 3 «симметрические многочлены) была выведена первая формула Ньютона sk— sk„xpx + Sfc_2p2— ... +
4- (—I)U-Is1^-I+ М- I)Va = O1 где k = 1,2, 3...../2 — 1, а /?,, р2, р3 ...,P^1-
— основные симметрические функции переменных Xx, X2, X3.....Xn, т. е.
рх = Jf1 + X2 -Vx3+ ... + х„,
JP2 = XiJf2 + XiJf3 + . . • + Х\ХП + Х2Х3 + X2X4 + ... + X2Xn 4- ... + хп_ ххп,
a S1, S2, sn^.x — сумма одинаковых степеней переменных xlf х2, х3, ..., хп:
S\=Xl+X2 + X3+ ... +Xn, S2 = Xj+ X2+ Xg + +
Sn-I- х\ ~Г х2 ~Г х3 ~Г •¦• -Vх п '
Для вычисления Sn, 5,2 1-1,... выведем вторую Формулу Ньютона. Пусть /(Jf) = (Jf-X1)Cv-X2) ... (X-Xn) = хп-рххп~>+р2хп-2- .+ (-1)Л/?л. Тогда
/(Xi) = JfJ-P1Jf?-1+^?"2- ... +(-I)Vn = O,/ = !, 2, 3,...,/2.
Ответы. § 2. КОРНИ ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
455
Отсюда
Полагая здесь /=1, 2, 3,..., п и складывая почленно полученные равенства, будем иметь sn+k — pxsn+k_l+p2sn+k„2~- -.. +(—I)VA = O, где ?=0,1,2, 3, ... Это—вторая формула Ньютона, которая позволяет вычислить sn, sn+l, Sn+2, ... после того, как по первой формуле Ньютона S1, s2, S3, sn_x выражены через основные симметрические функции. Идея решения задачи 64 заключается в том, что сначала вычисляются суммы .S1, S2, S3, S4, S5, S6, 1-ых, 2-ых, 6-ых степеней выражений Jt1+лг2, хх-\-х3, X1+х4, X2+ х3, X2+ х4, х3 + х4 через суммы S1, S2, s3, S4, S5, S6 степеней основных переменных X1, х2, х3, х4. По формулам Ньютона последние можно вычислить, а зная .S1, .S2, .S3, .S4, .S5, S6, можно вычислить основные симметрические функции выражений X1 +X2, X1-J-Jf3, ... Рассмотрим равенство (X + X/)* = xk + C\xk~lXi+ C\xk~2x) + ... +xf. Полагая здесь / = 1, 2, 3, 4 и складывая, будем иметь (х + X1)* + (х + X2)* + (х + X3)* + (х + X4)* = 4х* -J -і-C\xk~~Asx +C\xk~2s2+ ... + Sf1. Полагая в этом равенстве х = хь х = х2, X = х3, X = X4 и складывая полученные равенства, будем иметь
2ksk + 2Sk==4sk +CIs1S^1+ C2s2sk_2 + ... + CIs^1S1+4sk,
откуда
Sk^ ^(s(>sk + C\slsk_.l + Cls2sk„2 + +Clsk~isi +SkSo) — 2k~lsk,
где для симметрии мы положили Sq = X1 + X2 + Хз + х\ = 4. Теперь находим (сначала непосредственно)
Si = X1 + X2 + X1 + X3 + X1 + X4 + X2 + X3 + X2 + X4 + X3 + X4 = 3S1,
S2 = ~2 {s0s2 + 2sJ + S2S0) — 2s2 = 2s2 + S1, S3 = ~ (S0S3 + 3S1S2 + 3S2S1 + S3S0) — 4s3 = 3S1S2,
Sa = \ (V4 + 45153 + 652 + 4Vl + 545o) — 854 = 45I5S + 352 — 454'
S5 = у (S0S5 + Ss1S4 + 1Os2S3 + 1Os3S2 + Ss4S1 + s5s0) — 16s5 = Ss1S4 + 1Os2S3 — 12s5,
Se = \ (5o56 + 65I5D + 155254 + 2°5з + ISs4S2 + Os5S1 + S6S0) — 32s6 =
= 6S1S5 + 15s2s4 + IOS3 ~ 28?.
Теперь находим S1, S2, S3, S4, S5, S6. Из данного уравнения х4 + х3~-1=0 находим: рх = — 1, р2 — 0, р3 = 0, р4 = —-1. Применяя первую формулу Ньютона (см. решение задачи 10, гл. 1, § 3), получим:
S1=P1=T-I,
52 = P? —2р*=1,
