Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
2. —2, 3. 3. —З'у- 4. --з ' 4"* РаЦиональных корней нет. 6. 1 — двукратный корень; —3 — двукратный корень. 7. 3, —1 — четырехкратный корень. 8. f(x) — 1 = (х—X1)(X—X2)(X—х3)(х — х4) р (х); если X — целое число, отличное от Xi, х2, х3, х4, то все множители правой части — целые числа. Множители х — хь X — х2, X — х3, X — X4 попарно различны, два из них могут быть равны ± 1, два других отличны от ± 1; значит, правая часть при целом х не может быть равна —2. 9. ±1,
j (±і ±ivnю. =1±р*. j=±±j?, 4(_і±і/~Щ+І±
± V^^17^1 і) - І3- I — §> —2> —¦J- 14. ±(а + Ь), ±(a — b). 15. ± а, ± У ab. 16. Указание. Надо исследовать дискриминант уравнения 5 = — (а — 2)(a-f3) совместно с выражениями х\ -\- х\ = ^ х\ — Xo = а (при аф 1). Ответ: если <2 Ф 1, то уравнение имеет четыре корня:
(о
4-і / 2 +і/" 4 а + 2 4-і/ 2 -і ¦./" 6-а-а2
а) Если а < — 2, то все корни мнимые, б) если я == —2, то Ar1 = X2= 0,
2/ ' х3} 4 = ± ¦ .— , в) если —2 < а < 1, то два корня действительные: х1|2 = V 3__ _
= ±|/ о^Л + У "Т^=ТУ2~ и два мнимые: X3, 4 = ± J/ J37J-}/ ¦^TT)F.
г) если а = 1, то два корня ± : Д) если 1 < а < 2> ™ все четыре корня (1)
действительные; е) если а = 2, то X1 = X2 — У"2 , X3 = X4 = —]/"2; ж) если а > 2. то все четыре корня (1) мнимые. 17. Если а Ф 3, то уравнение имеет четыре
^ , Г За — 4 , (За — 4 \2 7а —6 ч 0
корня X= ± |/ -^ZTj-± У (-^J-)--^Гз": а) ЄСЛИ Л<~2' Т° ВСЄ
четыре корня уравнения действительны; б) если а = —2, то два двойных корня: X1 = х2 = ]Л>, х3 = X4 = — У"2; в) если —2 < а < у , то все четыре корня мнимые;
1 1 6
г) если а = у , то X1 = X2 = 1, X3 = X4 = — 1; д) если < а < -у , то все корни
действительны; е) если а = -у , то X1 = х2 = 0, х3> 4 = ± -^=; ж) если -у < а < 3,
/За — 4 ,,А/За — 4 \2 7а — 6 то два корня действительны: х1? 2 = ± 1/ —-^—\-у I —-J —д_^ . и
/~За—4: ГГЗа^Ж* 7а — 6 оч р «
два мнимых: х3, 4 = ± 1/ ~~—з~~У \a — 3 )--а — 3 '' ^ A Т°
4
все четыре корня действительны. 18. — < а < 0. Указание. Установить
сначала, при каких значениях <2 уравнение будет иметь четыре действительных корня. Левая часть будет равна
/(х) = a (X-Xx) (X-X2) (X-X3) (х — х4). (1)
Среди корней биквадратного уравнения, если все они действительны и отличны от 0, два положительных и два отрицательных. Из (1) следует, что если корень X1 < —2, то (для действительности корней необходимо выполнение условия а < 0) /(—2) > 0, а так как X1 < —2 < —1 < X2 < X3 < х4, то
4 4
и/(- 1)>0. Этодаетя>— ; так как а < 0, то — < а < 0. При этих значе-
Ответы. § 2. КОРНИ ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
453
ниях а корни действительны. 19. а) р2— 4#>0, р < 0, #>0; б) р2—4q < О, или р2 — 4<7>0, /?>0, ?>0; в) /?2 — 4?>0, ? < 0; г) /?2 — 4q > 0, /? > 0, q > 0. 21. a) p2__4g>0t ?>0,/><0, 2а2+/?">0, д4 + /?д2 + <7 > 0; б) р2 — 4? >0, q > 0, 2а2 + р < 0, д4 + pa2 + ? > 0; в) р2 — Aq > 0, р < 0, q > 0, д4 + /?д2 + д < 0.
22. —2є, J/Te, где е==1 или ~~l ^1^3 . 23. ±2, ±2/, ±lzf . 24. —2, —-§-, - |, 1. 25. 1 (двойной корень), ±/. l + VW± /2 + 2^^^^/^2 + 2^
23. -4 ± V^VTO. 27. -1 ± V^-1 , \±jV^±La 23. Подста-
/2 V2
новкой х = -^- приводим уравнение к предыдущему. 29. З, 1, 2 ± 5/. 39. 4, 2, 3±//Ї9. 31. 1 (двойной корень), —1±2/. 32. —1, 12,1(11 + //159). 33.
^(і±//2Ї7?+ї)' 7j(-l± VW^)- 34« —1±/7. 4±2/уг2- Указание.
X2 (X — З)2 — 16(х — З)2 + 9х2 = X2 (х2 — бх + 18) — 16 (X — З)2 = X4 — 6х2 (х — 3)— — 16 (X — З)2. 35. X4 — 12х + 323 = X4 — 12х + 182 — 1 = х4 — Збх2 + Збх2 — 12х +
+ 182—1. Ответ: —3± і УЖ 3 ±2/^2. 33. — ~ ± ~УТ\ , — ~ ± 1 УЕі. 37.
—2а (двойной корень), —2а±аУъфУ\Ъ1,—2а±аУЪ — У\Ъ1.^\ Если аф 0, то
—За — 1 ± УAa3 ф 9а2 ф да ф 1 _ три корня: —1,--—-¦-!—. Если а = 0, то два корня. ±1
39. 2, 3,5AiIl. 40. -т, ^fE}. 41. a.b. Ц± + ^ і У*. 42
1(—1+/]/*3), 4(я± /02"^?. 43. 1. (двойной корень); ^A]A. 44. 2, 1,"~5^17
45. а, 6, -^Al .46.3,-1, — |-. 47. a, b, j (а ф Ь)± ~(а — Ь) іУ 1 (еслиа^б).
48. a, b, -^11, AA ± -^=A//3". 49. Если а ф 0, 6 ф 0, то корни + /гй д2 б2
-у , —. Если а = 0, b Ф 0 или а Ф 0, 6=0, то один корень х = 0. Если а = b = 0,
то любое число X является корнем. 50. а + 1, 1 ?— ^д + ~j + |/~12—З^д + -^J J 6 ± l/^2 + 8
51. 6, -2——• 52. Решение. Будем следовать методу, которым решается
любое кубическое уравнение вида х3 + рх ф q = 0. Числа а и 6, входящие в данное уравнение, могут быть и комплексными. Положим X = и ф V, тогда х3 = и* + + */3 + Змг/ (и + v). Подставляя в данное уравнение, получим
«» + i,3 + 3ut/ (И +^)-^(^ + 1/) + -^==0. Выберем и и v так, чтобы коэффициент при и фу обратился в нуль: uv = А.
T Iii Я+^о* 1 «о о.Я+^.
Тогда a3 + t/3=--аТ0Т~ ' v а$ьГ> w» u —корни уравнения z2 + д2'^2 z +
+ -^3^3=0. Решая это уравнение, получим zx = — ^, Z2 = — ^2» значит, і і у"^" 9
