Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
32. sin2 a 4- sin2 ft -f- sin2 с -j- sin2 d =
= 2 (1 + sin a sin ft sin с sin я? — cos a cos ft cose cos d).
33. Доказать, что если а-\-Ь-\-с = 2пк, где /г—целое положительное число, то
і 'Ui • / і\п-1 л . a . b . с
sin a -j- sin ft -f- sin с = (— 1) 4 sin у sin у sin у .
34. Доказать, что если a -)-ft ~f- с = (2n -f- 1) тс, где n — целое число, то
cos4 у -f~ cos4 — -f- cos4 у — 2 ^cos2 у 4- cos2 у -f - cos2 yj ~f--)- 4 cos2 у cos2 у cos2 у = 0.
35. Доказать, что
л 1 ,/--г-!-:- , 1
a) cos у = у Y1 + sin a + у j/" 1 — sin a , у = у ]/"l -f-sina —у ]A —sin a,
sin
если 0<!<45° или 315°<y<360°;
б) cos у = у Y1 + sin a — у j/" 1 — sin a, sin у = у "1^1 4-sin a + y V"l —sin a,
если 45°<|-< 135°;
в) cos — = — у Y^ + sin a—-g-V* — sin a, sin у ==— у ]/l 4-sin a -f-y У"і —sin a,
если 135° < у < 225°;
32O Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
г) cos -|- = — у У1 + sin а + 2" У1 — sin а • sin -|- = -і Vа 1 + sin а — Y У1 — sin а,
если 225° <-| <315°.
36. Доказать, что если a-\-b-\-c-\-d=0, то
cos 2а + cos 2ft + cos 2с + cos 2б? = = 4 (cos a cos ft cos с cos d — sin a sin ft sin с sin ^).
37. Доказать, что если корки уравнения
*3 + ajt2 + ftx + c = 0 суть tgocj, tga2, tga3, а уравнение
Jt3 +ex2+ ft*+ a = О имеет корни tg P1, tg?2, tg?3, то
«1 + a2 + <>3 + + ?2 + [S3 = ЙЇГ,
•где ft — целое число.
a ft с
38. Доказать, что если О < a < тс, О < ft < тс, О < с < тс и tg у, tg -^-» tg являются корнями уравнения
*3 + л:р2 + .х:+#=0,
то
tg а + tg ft + tg с = tg a tg ft tg с.
39. Доказать, что если
cos2 а + cos2 ft + cos2 с + 2 cos a cos ft cos с = 1, то имеет место одно из четырех условий
а± Ь ±с = (2ft+1) те,
где ft—целое число.
40. Доказать, что если sin (а — ft) = sin2 a — sin2 ft, то либо a — ft=.A7c, либо
a + ft = A„ + (_l)*_i
где ft— целое число.
41. Доказать, что если
tg-| = 4tg-J,
то
, ft — а _ 3 sin a
g 2 — o — 3 cos а '
42. Доказать, что если tg(a + ft) = 3 tga, то
sin (2a + 2ft) + sin 2a = 2 sin 2ft.
43. Доказать, что если
(1 +cos a) (1 +cos ft) (1 +cos с) = (1 — cos a) (1 — cos ft) (1 — cos с),
то кажлая из частей этого равенства равна ± sin a sin ft sin с.
44. Доказать, что если
cos х = cos a cos ft,
то
X -\- а . X— а . ~ Ь
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
321
45. Доказать, что если a + ft + c = 7r и
sin a : sin ft : sin с = 4 : 5 : 6,
то
cos a : cos Ъ : cos ?=12:9:2.
46. Доказать, что если a +ft+ с = тс, a= 2b, то
sin2 a = sin b (sin с -+ sin ft).
47. Доказать, что если
cos a + cos ft -f- cos с = О,
то
cos a cos ft cos с = -^- (cos За + cos 3ft + cos 3c).
48. Доказать, что если
tg* : tga = (1 + cos2*): (1 + sin2*),
то
sin (3* + a) = 4 sin (* — a).
49. Доказать, что если
sin4 * і cos* * 1
л i h
a + b 1
to
sin8 X . COS8 * 1
• -r •
аз 1 ~ (a + b)* e
50. Доказать, что если 0 < a < 90°, 0 < ft < 90°,
3 sin2 a + 2 sin2 ft = 1, 3 sin 2a = 2 sin 2ft, то a+ 2ft = 90°.
51. Доказать, что если cosa = tgft, cosft = tgc, cos с = tga, то sin a = sin b = = sinc = 2sin 18°.
52. Доказать, что если
sin (* — a) _ a cos (x — a) _ O1
sin (* — b) b 9 cos (* — b) ~ 1?7'
to
53. Доказать, что если
cos (a — ft) = —r-i—ir v ' abi -|- axb
cos X cos 2x cos 3*
ci\ O2 a3
то
sin2 T
X__2a2 — #i — a3
4a2
54. Доказать, что если
sin * sin 3* sin 5*
то
#1 Л3 #5
ді + д5 _ аг — fli
55. Доказать, что если 3 sin ? = sin (2a+ ?), то
tg(a + ?) = 2tga.
21 П. С. Моденов
322 Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
56. Доказать, что если 0 < а < -|, 0 < р < ~
tg а = —, sin?
то
7 9 ґ~УШ9 « + 2? = x-
57. Доказать, что если
то
sin a = A sin(a-f-?),
58. Доказать, что если a-\-b-\-c = Kt то
tgytg|-+tgytg| + tg|tg|.= L
59. Доказать, что если
sin ? п
sin (2а+ ?) т '
то
tg?
1 +
tgq 1 — tg а tg р
60. Доказать, что если
0<a<J, 0<?<y, 0<T<|-
и
cos ос -|— cos ? ~\- cos Y = 1 +4 sin у sin у sin-—,
то
a-H-H = *-
61. Доказать, что если
0<a<?, 0<?<-J, 0<Т<|,
то равенство
cos2 a+ cos2?+ cos2 7 + 2 cos a cos p cos 7 = 1
имеет место только тогда, когда a-f-f —|— ? = тс.
62. Доказать, что если
cos(2a + p)= 1,
то
tg(a + p)-tga = 2tg|.
63. Доказать, что
sec 2a — cos 28 = • ' 0„ ,
г COS ZOt
где
m в sin (a + P), п = sin (a — р).
§ 2. СУММИРОВАНИЕ
323
Исключить х из соотношений: 64. cosx—sin х = т, sin 2х = п.
66. # sin X + ft cos x=zrnt sin 2х = п.
66. sin 3* = а9 cos 2х = ft.
67. sin X +- cos X == a, tg3 л; + ctg3 х = ft.
68. cos"2--sin = a, cos X = ft.
69. я tg (x — a) = /я tg (x + a), /7 sin 2x + # cos 2x = r. Исключить X и у из соотношений:
