Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
с
отличное от с: положим е = — .
а
Рассмотрим переменную точку прямой (А); обозначим через (Г) окружность AF
с центром А и радиусом —; через В — точку, сопряженную с F относительно (Г) на диаметре AF.
1°. Доказать, что радикальная ось двух окружностей (Г) и (F') .с центрами AnA' есть медиатриса отрезка BB'9 где точки BnB' соответствуют точкам AnA' так, как указано выше. 2°. Будем считать, что точка А фиксирована, а точка А' стремится к точке А. Пусть при этом указанная радикальная ось стремится к некоторой прямой (D) и пусть /— полюс прямой (D) относительно (Г); изучить окружность с диаметром Al. Как построить точку A9 если задана прямая (D) и если при этом она пересекает (Г) в двух точках: M и M'?
Доказать, что геометрическое место точек MnM' есть линия второго порядка (E) с фокусами F и F'9 касающаяся (Г) в точках M и M'.
3°. Окружность (Г) фиксируется так же, как и соответствующая прямая (D). Пусть P — переменная точка (E)9 a H—ее ортогональная проекция на (D). Доказать, что степень точки P относительно (Г) пропорциональна PH2. Чему равен коэффициент X пропорциональности? Будет ли (E) геометрическим местом точек P9 обладающих этим свойством?
Рассмотрим семейство C(P) окружностей с центром P на (E)
и радиусом У"\РН в случае, если X > 0. Найти на (E) центры окружностей этого семейства, проходящих через заданную точку Q плоскости; исследовать.
Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
311
II. Стереометрия. Пусть (D)— фиксированная прямая, a k — фиксированное положительное число. Обозначим через P какую-нибудь точку пространства, через H— ее проекцию на (D), через S(P) — сферу с центром P и радиусом k • PH.
A. Предположим, что точка P перемещается по фиксированной прямой (А), не лежащей в одной плоскости с прямой (D) и не ортогональной (D). Пусть К — точка прямой PHt сопряженная с точкой H по отношению к сфере S(P).
1°. Каково геометрическое место точек K1 если P описывает (Д)?
2°. Пусть P и P1— два различных положения точки P на (Д). Доказать, что радикальная плоскость S(P) и S(P1) содержит прямую, общую плоскостям-медиатрисам отрезков HH1 и /(7C1.
3°. Доказать, что для частного значения k = k0 радикальные плоскости S(P) и S(P1) фиксированы, каковы бы ни были положения P и P1 точек на прямой (Д); вычислить k0 в функции угла а между (D) и (Д). Вывести отсю; а что для k = k0 сферы 5(P) вписаны в поверхность вращения (?), и определить меридиан этой поверхности; исследовать.
B. Фиксированы прямая (D) и число к, большее 1; фиксирована сфера (V) с центром V и радиусом р, не пересекающая (D), а также фиксирована какая-нибудь плоскость (R)1 проходящая через (D). Предлагается изучить сферы 5 (P), касающиеся (V)1 центр P которых есть какая-нибудь точка P плоскости (R).
1°. Каково геометрическое место точек 5 прикосновения S(P) и (V)? Установить существование двух семейств Ф и Ф' сфер 5 (P), отвечающих указанным условиям; каково геометрическое место (L) центров сфер одного из этих семейств Ф и Ф'?
2°. Доказать, что сферы Ф ортогональны бесконечному множеству сфер (2); пусть (20) есть сфера этого семейства, центр А которой лежит в плоскости (R); вычислить отношение расстояний от центра О геометрического места (L) до (D) и до А.
3°. Доказать, что сферы Ф касаются семейства сфер (W). Каково геометрическое место центров сфер (W)? Рассмотреть частные случаи двух сфер (W)t центры которых лежат в плоскости (R). Доказать, что сферы (W) и (Q) имеют общую радикальную ось. Теперь будем считать фиксированными: (D)1 число А>1, плоскость (R)1 проходящую через (D)1 в которой перемещается точка P1 сферу (2). Обозначим через (v) окружность, по которой (R) пересекает (2), а через А — центр этой окружности; радиус этой окружности обозначим через г; допускается также и то, что (R) и (2) не пересекаются.
Доказать, что существуют сферы 5(P) с центрами на (R), ортогональные (2). Изучить существование и построение сферы (V), ортогональной (2) и касающейся всех сфер 5 (P).
Если (V) существует, то определить, по отношению к фиксированным образам, геометрическое место (P) и огибающую больших кругов сфер 5 (P), лежащих в плоскости (R); установить положение центра геометрического места точек P относительно точки А и точки /, в которой пересекается плоскость (R) с прямой, сопряженной или взаимной с прямой (D) относительно (2).
Что можно сказать про геометрическое место точек P (на основании результатов, полученных в первой части) в случае, если сфера (V) не существует?
C. Фиксированные элементы следующие: прямая (D), число к > 1, сфера (V) с центром V и радиусом р, не пересекающая (D), и еще сфера (T), с радиусом р' и центром Т. Через (R) обозначим переменную плоскость, проходящую через (D).
1°. Доказать (без исследования), что в плоскости (R) существуют, вообще говоря, две пары точек P1 и P2 — центры сфер 5(P), касающихся (V)
312
Стереометрия. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
и ортогональных (T); каждая пара этих точек может быть определена как точки пересечения гиперболы с прямой (О), проходящей через фиксированную точку а прямой (D). 2°. Если плоскость (R) вращается вокруг (D)1 прямая (G) описывает конус, основание которого в плоскости, перпендикулярной (D)1 есть линия второго порядка, фокус которой лежит на прямой (D); этому фокусу соответствует директриса, лежащая в радикальной плоскости сфер (V) и (T). Вычислить эксцентриситет этой линии. 3°. При каком условии геометрическое место центров P состоит из двух линий второго порядка, расположенных в плоскостях (R1) и (R2), проходящих через (D)? Как построить тогда плоскости (R1) и (R2)? 4***. Все фигуры, о которых говорится в условиях частей I, И, III и IV, предполагаются расположенными в одной плоскости. I.. Обозначим через X и V две различные фиксированные и не взаимно-пер-* пендикулярные прямые, пересекающиеся в точке С. Со всякой прямой (А) ассоциируются две прямые: (A1) и (A2), симметричные прямой (А) относительно прямых XnY, а также точка R пересечения этих прямых (A1) и (A2). Всякая ли точка плоскости может быть ассоциирована таким образом с некоторой прямой (А)?
