Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
При каком условии данная прямая может быть рассматриваема как ассоциированная с некоторой плоскостью (Я)?
1°. Пусть (L) — фиксированная прямая, не ортогональная (C)1 которая не лежит в одной плоскости с (С). Доказать, что прямые (R)1 ассоциированные плоскостям (Я), проходящим через (L)1 пересекают три фиксированные прямые, которые требуется определить; могут ли быть прямые (R) охарактеризованы этим их свойством? Каково сечение поверхности, образованной геометрическим местом прямых (R)1 плоскостью, перпендикулярной (С)? Рассмотреть два случая: когда плоскости X и Y перпендикулярны и когда они не перпендикулярны.
2°. Даны три параллельные прямые: (А), (В), (С), определяющие попарно три различные плоскости: (B1 C)1 (C1 А) и (A1 В). Со всякой плэ-
Стереометрия. Гл." XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
скостью (Я) ассоциируются плоскости (Я^, (Я2), (Я3), симметричные ей относительно плоскостей (Б, С), (С, Л) и (Л, Я). Изучить в зависимости от положения плоскости (Я) пересечение трех плоскостей: (Ях), (Я2), (Я3). При каком условии эти плоскости имеют и притом только одну общую точку Ж? Каково геометрическое место (.S) этих точек Af? На геометрическом месте (.S) взята точка Ж; соответствует ли она одной плоскости (Я) или нескольким?
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Глава XXVII ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Тождественные преобразования П. 1. Тождества
Доказать следующие тождества:
1. sin a cos (ft — a) +- cos a sin (ft — а) = sin ft.
2. cos (a -f- b) -f- sin (а — b) = (cos а +• sin a) (cos ft — sin ft).
3 tg2fl — tg2ft = sin (a + *} sin(*~ b)
6- ig a Xg O — cos2flcos2?
sin (a — b) . sin (fr — c) і sin (c — a) _^
cos я cos b ' cos 6 cos с ' cos с cos a
5 sin (a — b) . sin (6 -— c) . sin (c — a) _^
sin <2 sin 6 ' sin b sin с ' sin с sin Л
6. sin (a + b) sin (a — ft) — sin2 a — sin2 ft = cos2 ft — cos2 a.
7. sin (a -j- ft) sin (a — ft) + sin (ft -f- c) sin (ft — c) +• sin (c -f- a) sin (c — a) =-- (
8. sin (a -f~ ft) sin (a — ft) +• sin (ft — c) sin (ft + c) -|~ + sin (c -f- d) sin (c — d) -f- sin (d -f- a) sin (d — a) = 0.
9. sin2 (a + = c°s2 et -f- cos2 ft — 2 cos a cos ft cos (a -f- ft) =
= sin2 a -)- sin2 ft -J- 2 sin a sin ft cos (a -f- ft), sin (60° — a) cos (30° + a) +• cos (60° — a) sin (30° + a) = 1.
cos2 a + cos2 -f" ?) + c°s2 (-^- — a) ~ "2" •
tg 20° + tg 40° + / 3 tg 20° tg 40° = /3.
X / і »\ і / ,4 sin2 # — sin2 b ig(a + b)ig(a-b)= С052 д„5іпП»
ctg^C і = *g + ^ (« - b) ig* a tg2 ft.
15. \g(a-b)(\+tgatgb) + tg(b-c)(\+tgbigc) + ig(c-a)(\+-tgctga)
16. cos (a — ft) cos (a -(- ft) — sin (a — ft) sin (a -f- ft) = cos 2я.
1 — 2 sin^ g _ 1 — tg a
17' 1 + sin2a ~"* 1 + tg a e
18. cos6 a — sin6 a — cos 2a ^ 1 — -i- sin2 2a)j.
19. cos6 a -f- sin6 a = cos2 2a-\-~ sin2 2я.
316 Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
cos2 2а — 4 cos2 а+ 3 _ 4
20- Cos22a + 4cos2a — 1 ~хё а-
2!. (1+tfyfT2tg?fl = sin 2а + cos 2а.
1 + tg2 а '
22. tg 2а + sec 2а = tg (45° + а).
23. cos2 — aj — sin2 — a^j = sin 2a.
24. 1 -f-,cos 2a cos 2b = 2 sin2 a sin2 ft + 2 cos2 a cos2 b
25. cos2 (a — b) — sin2 (a + 6) = cos 2a cos 2ft.
26. sin2 (a + b) + cos2 (a — ft) = 1 + sin 2a sin 2ft.
27. cos2 (a + ft) — sin2 a = cos ft cos (2a + ft).
oo , n і am і 2/ ач 2 (sin2 2a + sin2 26)
28. tg2 (a + ft) 4- tg2 (я — ft) = —,-—s—-!-^TT7V-.
fe v 1 y 1 ь v ' (cos 2a -+- cos 26)2
ЛЛ . Зтс . тс . Зге . 2те . . 7тс . Зтс Л
29. sin -jo smТо ~~ sm "5" Sin ~5~ "^" ЗШ Tu sin TT =
42. 43.
cos 3a
cos a 1 + tg a tg 2a
31. sin a sin 3a == sin2 2a — sin2 a.
32. cos a cos 3a — cos2 2a — sin2 a.
j. о tg22a —tg2a
33. tg a tg 3a = , s , , Д n ,
ь & 1 — tg2 a tg2 2a
0. sin3a + sin^a ,
34' cosSa-cos3a^Ctgg-
35. 4 sin3 a cos 3a + 4 cos3 a sin 3a = 3 sin 4a.
36. 32 sin2 a cos4 a = 2 + cos 2a — 2 cos 4a — cos 6a.
37. sin 6a = 2 sin a (16 cos5 a — 16 cos3 a -f- 3 cos a).
38. cos 4a = 8 cos4 a — 8 cos2 a + 1 = 8 sin4 a — 8 sin2 a -(- 1.
tcr4a- 4tg*n-jg!i0_
39.
40. tg a + 2 tg 2a + 4 tg 4a + 8 ctg 8a = ctg a.
2tgf 2ctg^ 2
a
41. . sin a
1 + Щ*~2 l+ctg2T tgT+ctg^
І + ""т-т('+*тГ-
.(1-*?
1 + COS (
cos a 1
44 seca + tga 2/rc a\
sec a — tg a — ь V 4 ^ 2 J '
45. tgatg4 J+-4tg3^-6tgatg2|--4tg|+-tga = 0.
46. cos a cos ft cos c= -J- cos (a + ft + c) + ™ cos (ft + с — a) +
-f j COS (a + C — ft)-j J-CDS(A +ft — c).
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
317
47. УЪ sin a cos * = ~ cos (60° — а + ft) + ~ cos (а + ft — 60°) —
— j cos (60° + а + ft) — 1 cos (60° + л — ft).
48. 4 sin a sin (60° — a) sin (60° + a) = sin 3a.
1 1 3
49. cos4o = j cos4a + у cos 2a+ —.
1 1 з
60. sin4 я — — cos 4a — — cos 2a + т- •
о Z о
1 5 S
61. cos5 a = jg-cos 5a+ -yg- cos 3a+ ~ cos a.
15 5
