Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказать, что, какова бы ни была прямая (А), точка R, с ней ассоциированная, гомологична, ортогональной проекции N точки С на (А) в подобии второго рода, которое требуется определить как произведение симметрии в некоторой оси на положительную гомотетию с центром на этой оси.
Пусть (г) — прямая, гомологичная (А) в этом подобии; каково положение (г) относительно (A1) и (A2)? Каково геометрическое место точек R, ассоциированных с прямыми (А), проходящими через данную точку F1 или параллельных данному направлению? Какова огибающая прямой (А) такой, что точка R9 ей ассоциированная, описывает или данную прямую, или данную окружность? II. Дан фиксированный треугольник ЛВС (не прямоугольный) с вершинами Л, B9 С;, пусть О — центр окружности (О), описанной вокруг этого треугольника, H—-его ортоцентр и Л'9 В'9 С — основания высот ЛИ, BH и CH. Со всякой прямой (А) ассоциируются прямые (A1), (A2), (A3), соответственно симметричные ей относительно прямых ВС, С Л и AB так же, как точки Р, Q9 R1 в которых пересекаются соответственно (A2) и (A3), (A3) и (A1), (A1) и (A2). Точки P9 Q1 R9 вообще говоря, — вершины некоторого треугольника (T).
1°. Обозначим через (Ь) всякую прямую (А) такую, что точки P1 Q и R1 с ней ассоциированные, совпадают с одной точкой М. Определить огибающую прямых (Ь) и геометрическое место ассоциированных с ней точек М.
2°. Каковы геометрические места точек P9 Q1 R1 ассоциированных с прямыми (А), параллельными данному направлению? Какое отношение существует между треугольниками (T)9 ассоциированными с этими параллельными между собою прямыми (А)?
Точкам P9 Q1 R1 ассоциированным с какой-либо прямой (А), не проходящей ни через одну из точек Л, B1 С, ставят в соответствие прямые (р), (q), (г), соответственно перпендикулярные прямым AP9 BQ и CR в точках Р, Q и R9 так же, как точки Р;, Qr, R\ в которых пересекаются соответственно (q) и (г), (г) и (р), (р) и (q). Точки Р\ Q', R', вообще говоря, — вершины треугольника (Г'), который будем называть треугольником, присоединенным к треугольнику (T)9 образованному точками P1 Q, R. Каковы геометрические места точек P't Q', R', соответствующих прямым (А), параллельным данному направлению?
3°, Доказать, что какова бы ни была прямая (А) [отличная от прямой (8)], треугольник (Г), ассоциированный с ней, подобен треугольнику А'В'С.
Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
313
Какзв род подобия (1-й или 2-й), которое треугольник (T) переводит в треугольник A'B'C'l Во что переходит в этом подобии треугольник (T'), присоединенный к (7)?
Вычислить в различных случаях углы треугольника (T) в функции углов треугольника ABC. Может ли быть треугольник (T) равнобедренным, если треугольник ABC неравнобедренный? 4°. Дана фиксированная точка F. Определить огибающую сторон и геометрические места вершин P1 Q1 R треугольников (T)1 ассоциированных всем прямым, проходящим через F1 так же, как огибающие сторон и геометрические места вершин Я', Q'\ Rr треугольников (T'). присоединенных к (T). Уточнить положение этих различных геометрических мест относительно окружности (О). III. Дан фиксированный треугольник с вершинами P1 Q1 R. Пусть (А)— какая-нибудь прямая. Требуется определить треугольник ABC такой, что данный треугольник PQR будет треугольником (T)1 ассоциированным с прямой (А) в смысле определения части II. Сколько решений имеет эта задача? Вычислить углы треугольника ABC в функции углов треугольника PQR. Доказать, что треугольники ABC1 соответствующие указанным образом всем прямым (А) плоскости, можно разделить на четыре семейства таких, что все треугольники одного семейства будут переводиться друг в друга подобием 1-го рода. Каковы геометрические места вершин A1 B1 С треугольников каждого из этих семейств при условии, что прямая (А) принимает все возможные положения? Доказать, что окружности, описанные вокруг треугольников ABC одного семейства, проходят через одну точку.
Каковы огибающие сторон треугольников ABC1 соответствующих всем прямым (А), проходящим через данную точку F?
IV. Даны три окружности: (а), (?), (7), попарно пересекающиеся и имеющие одну общую точку M0) обозначим через /, J1 К точки пересечения (отличные от M0) соответственно (?) и (7), (7) и (а), (а) и (?).
1°. Доказать, что существует бесконечное множество треугольников, вершины P1 Q1 R которых описывают соответственно окружности (а), (?) и (7), а стороны QR1 RP и PQ проходят соответственно через /, J1 К.
2е. Определить треугольник ABC такой, что все такие треугольники (см. 1°) PQR могут быть рассматриваемы как треугольники (T)1 ассоциированные (по отношению к треугольнику ABC) к различным прямым (А), проходящим через некоторую точку F1 положение которой также требуется определить. Сколько решений имеет эта задача?
V. Даны две фиксированные плоскости X и Y1 пересекающиеся по прямой (С). Со всякой плоскостью (Я) ассоциируются плоскости (TJ1) и (Я2), симметричные относительно XwY.
При каком условии плоскости (Tl1) и (Я2) пересекаются? Пусть (R) — прямая, по которой они пересекаются; назовем ее ассоциированной с плоскостью (Я).
