Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 137

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 381 >> Следующая


Введем следующие обозначения: (P) — плоскость, в которой лежит изучаемая линия (С); (P1) — окружность, перспектива которой есть линия (С); (P1) — плоскость, в которой лежит окружность (P1); S — точка, не лежащая ни на плоскости (P), ни на плоскости (P1). Исключая тривиальный случай, когда плоскости (P) и (P1) параллельны, обозначим через (Я) плоскость, параллельную (P), проведенную через точку S и через прямую (G1), по которой пересекаются плоскости (P1) и (77). I. Фиксированы следующие элементы: пересекающиеся плоскості (P) и (P1), точка S1 не лежащая ни на одной из них, и окружность (P1), лежащая в плоскости (P1).

1°. Изучить число точек пересечения прямой (D) плоскости (P) с перспективой (С) окружности (P1). Найти геометрическое место середин параллельных хорд линии (С).

2°, Найти центр симметрии и оси симметрии ли: и (С). Исследовать число этих осей симметрии и существование точек пересечения осей симметрии с линией (С); в выводах должны фигурировать лишь данные элементы (P1), 5 (P1) и прямая (G1).

Доказать, что если линия (С) имеет более двух осей симметрии, то эта линия — окружность (P).

3°. Даны в плоскости (P1) точка M1 и ее поляра (D1) ст юсительно (P1); говорят, что их перспективы M и (D) являются полюсом и полярой относительно линии (С). Должно быть оправдано это соглашение или нет? В случае положительного утверждения дать оправдание этому определению.

II. Даны окружность (P) и на ней шесть различных точек: А, А', В, В', С, С Доказать теорему Паскаля: если Р, Q, R— соответственно точки пересечения прямых ВС' и CB', CA' и AC, AB' и BA', то они лежат на одной прямой.

1°. Доказать эту теорему в каждом из следующих частных случаев:

а) АВ'\\ВАГ и, следовательно, R—бесконечно удаленная точка в направлении AB'. Доказать, что точки С С, Р, Q лежат, вообще говоря, на одной окружности и что PQ\\AB'.

б) AB' и BA' — два диаметра (P). Пусть M и M — соответственно точки, в которых пересекаются прямые AC9 CB' и CA', ВС; доказать, что точки М, N, С, С лежат, вообще говоря, на одной

20*

3Q8

Стереометрия. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ

окружности (P'), ортогональной (P), и что точки P1 Q1 R лежат на одной прямой.

2°. Доказать теорему Паскаля, используя в общем случае перспективу, переводящую данную фигуру в одну из изученных выше.

III. Цель этой части — показать, что через всякие пять точек, лежащих в одной плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой, проходит линия (С).

1°. Даны плоскость (P) и четыре точки: A1 B1 D, E1 лежащие в этой плоскости, такие, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Пусть f — точка пересечения AB и DE (т может быть и бесконечно удаленной точкой). Обозначим через *[' и f" точки, гармонически сопряженные с точкой 7 относительно A1 В и D1 Е.

Пусть (P1) — произвольная окружность, проходящая через точки D и Е; плоскость (P1), в которой лежит эта окружность, отлична от плоскости (P); обозначим через / полюс прямой DE относительно (P1). Доказать, что если взять за точку S какую-нибудь точку пересечения конуса [с вершиной А и основанием (P1)] с плоскостью (/, fY') 1за исключением точек, расположенных в плоскостях (P) и (P1)], то перспектива (P1) на плоскость (P) из точки 5 пройдет через точку В.

2°. Снова возьмем предыдущие данные и добавим в плоскости (P) точку С так, чтобы никакие три из пяти точек A1 B1 C1 D1 E не лежали на одной прямой. Обозначим через ? точку пересечения AC и DE1 через ?' и ?"— точки, гармонически сопряженные с точкой ? относительно A1 С и D1 E1 и, наконец, через / — точку пересечения fY' и ?'?". Доказать, что если прямая U1 пересекает конус с вершиной А и основанием (P1) и если S — одна из этих точек пересечения, то перспектива (P1) на плоскость (P) из точки S пройдет через точки A1 B1 С, D1 Е.

Доказать, что необходимое и достаточное условие существования точки S заключается в том, что прямая Al пересекает отрезок DE.

3°. Применяя предыдущие обозначения, будем теперь точку / обозначать через / (A1 DE), для того чтобы подчеркнуть ее происхождение. Соединяя в другом порядке пять данных точек, можно получить другие точки, аналогичные точке /.

Доказать, что точки 1(B1 AC) и 1(C1 AB) лежат на одной прямой с точкой А и что точка, гармонически сопряженная с точкой А относительно этих двух точек, обладает особым свойством (можно, например, произвести подходящую перспективу). Доказать, наконец, что прямые, соединяющие точки А и 1(A1 BC)1 В и 1(B1 CA); С и /(C1 AB), проходят через одну точку.

4°. Пять предыдущих точек остаются данными. Доказать, что если взять три окружности, проходящие соответственно через В и C1 через С и A1 через А и B1 плоскости, которые отличны от плоскости (P), то среди этих трех окружностей найдется хотя бы одна, подходящая перспектива которой переведет ее в линию (С) плоскости (P)1 проходящую через точки A, B1 C1 D1 Е.

IV. Из предыдущих исследований вывести, что

1°. Через всякие 5 точек, лежащих в одной плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой, проходит линия (С) и притом только одна. 2°. Перспектива линии (С) есть снова линия (С). V. Доказать, что если дана линия (C)1 то существует конус вращения, проходящий через эту линию, т. е. что линия (С) есть коническое сечение. Следует выбрать хорду DE линии (C)1 перпендикулярную одной из ос^й симметрии линии (C)1 и отыскать вершину S в плоскости-медиатрисе отрезка DE.
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed