Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Моденов П.С. -> "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики" -> 144

Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики — М.: Высшая школа, 1960. — 766 c.
Скачать (прямая ссылка): szpskemmodenov1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 381 >> Следующая


70. cos(x — 3/) = с, sin X + sin 3;=*= а9 cosx+ cos j> = ft.

71. sinx + sin 3/ = 0, cosx+ cos 3/=2= ft, tg^- tg-| = tg2 j.

72. a sin2 x + ft = ft + ft sin2 X9 ft sin2 у+-а = е-\-а sin2 3;, a ctg 3; = ft ctg x.

73. tgx + tg3/ = a, ctgx + ctg3/=ft, х + з/ = с.

74. sin X + cosj/ = a, tgx + ctg j/=sft, sec x + cosecj/ = c. 76. osin2x+ ft COs2x = w, ft sin23/ + a cos2 y = n9 atg x = btgy.

Исключить x, j/, z из систем уравнений:

76. cos(x+ j/) = a, cos(j/+ 2) = ft, cos (z — x) = c.

77. x + j/ + 2 = a, tgx + tgj/ + tg2=z Л,

tg * tg У + ^ .У tg2 + tg 2 tg x — B9 ig X tg у ig z = C.

78. sin (у — x) sin (z — x) = a cos x, sin (z •— y) sin (x — 3/) = ft cos 3/,

sin (x — z) sin (3/ — z) *a с cos 2.

§ 2. Суммирование

Просуммировать следующие выражения:

1. sin x + sin (x +- K) + sin (x + 2K) + ... + sin (x +я/г).

2. cosx + cos(x + a) + cos(x + 2a)+ ... +cos(x + /z/z).

3. sin x — sin (x +/г) + sin (x + 2/г)— ... +(—1)" sin (x +/г/г).

4. cosx — cos (x + K) + cos (x + 2K)— ... +(—1)" cos (x + /г/г), б. cos x — sin (x — K) — cos (x — 2K) + sin (x — 3/г) +

+ cos (x — Ah) — ... + cos |x + n — /г j j.

6. 1) sin x +sin 3x+ ... +sin (2/г—l)x; 2) cosx+ cos3x+ ... +cos(2/г—l)x.

7. sin x — sin2x + sin3x— ... +(—I)""1 sin nx.

8. sinx — sin3x + sin5x — sin7x+ ... +(—I)""1 sin (2/г—1) x.

9. sin nx + sin (n—l)x+ ... +sin(l—n)x.

10. cosx — cos3x + cos5x— ... +cos(4^ — 3)x — cos(4rc—l)x.

« « 7t , 2tC , , Я7С

11. cos + cos + ... +cos — .

21*

324 ^ ,..........Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

12. cos--r-cos--hcos--г- ... + COS-ТТ.

п 1 п 1 л ' 1 л

13. sin — + sin — + sin — -f- ... + sin—-—ТС.

14. cos-jg-4-cos-^g-+ ... +cos^jy.

«- 2тс . 4л , 6я . .20т.

15. COSy+COS у-+ COSy^ + ... +COSy-. 4г> . /ял . . 3/7271 . , . (2Л—1) /72

16. sin--1—sin--V- ... + sin--1-те

л ' л 1 ' л

17. sin л: sin 2х +sin 2jc sin 3jc + ... +sin пх sin (л + 1) jc.

18. sin л: sin Злг + sin 2х sin 6л:+ ... +sin(2rt~1Ar) sin(3 • 2/І~1лг).

19. sin2 X + sin2 (jc + A) + ... +5іп2[л: + (л— I)A].

20. cos2 * + cos2 (jc + A) + ... + cos2 [ jc + (л — 1) А].

21. sin2 X + sin2 2jc + ... + sin2 nx.

22. * cos2 jc + cos2 2 jc + ... + cos2 л.*;. *

23. sin2 X + sin2 (jc + -J) + sin2 (jc +^) + ... + sin2(jc +-^I тс).

24. cos2 jc+ cos2 3jc +cos25jc+ ... + cos2 (2л — 1) jc.

25. sin3 jc + sin3 (jc + A) + ... + sin3 [x + (л — 1) А].

26. cos3 jc + cos3 (jc + A) + ... +cos3 [jc +(л — 1) А].

27. sin3 jc + sin3 2jc + ... + sin3 nx.

28. cos3 jc + cos33jc+ ... +cos3 (2л—1)jc.

29. dn*x + An*(x + ?fy-{- ... +sin3[jc+ 2("71)TC].

30. cos3 jc + cos3 (jc + -^)+ ... +cos3[jc+ 2("~1)тс].

31. sin4 jc+sin4 (jc+ A)+ ... +sin4[;c+^— I)A].

32. (л — 1) sin jc + (л — 2) sin 2x + ... + 2 sin (л — 2) jc + sin (л — 1) x.

33. sin (jc + A) + 2 sin (jc + 2A) + ... + л sin (jc + лА).

34. cosec jc + cosec 2jc -f cosec Ax + ... +cosec2rt~1Jc,

35. tg jc + ctg jc + tg 2x + ctg 2* + ... +tg (2я-1 x) + ctg (2я"1*).

Q6 1I1I -I__1

cos X -f- cos 3jc COS JC + cos 5jc * " " " ' COS X -f cos (2л -f 1) дг fc

37. arctg 1 + /+1>4- arc Ig1 + J+2,+ ... + arctg 1+я'+я,-

= ^ —arctg^TT (Д°казать)-

38. arc tg -і 4- arc tg 1 + ... + arc tg я2 + я+1 = arc tg (доказать).

39. (1 + sec 2*) (1 + sec 4*) ... (l -f - sec 2"x) = ,

Ig X

если хфкъ% где k — целое число, доказать.

§ 2. СУММИРОВАНИЕ

325

Вычислить произведения:

40. (2 cos л: — 1) (2 cos 2* — 1) ... (2 cos 2""1X — l).

41. ^cos-|--f-cos-|-^cos^ + cos^ . . . (cos -^+-cos -^).

42. Доказать, что сумма квадратов хорд, соединяющих произвольную точку окружности с вершинами правильного вписанного в круг /г-угольника, равна 2nr2t где г — радиус круга.

43. Доказать, что сумма четвертых степеней хорд, соединяющих произвольную точку окружности с вершинами правильного вписанного в круг /г-уголь-ника, равна 6/гг2, где г — радиус круга.

44. В круг вписан выпуклый /г-угольник так, что его последовательные стороны отсекают дуги а, 2а.....па. Найти отношение площади этого многоугольника к площади правильного /г-угольника, вписанного в тот же круг.

45. В плоскости данного правильного /г-угольника даны точки А и В на расстоянии а. Через точку В проведены прямые, параллельные сторонам многоугольника. Найти сумму квадратов расстояний от точки А до этих прямых.

46. Найти произведение всех хорд, проведенных из вершин правильного многоугольника ко всем прочим его вершинам.

47. Пусть / — прямая, на которой лежит сторона A1A2 правильного /г-угольника A1A2A3 . .. An. Будем вращать многоугольник вокруг его вершины A2 до тех пор, пока на прямую / не упадет вершина A3, затем будем вращать многоугольник вокруг A3 до тех пор, пока на прямую / не упадет вершина АА и т. д. Вычислить длину линии, которую опишет вершина A1, когда многоугольник таким образом «прокатится» по прямой /, сделав один полный оборот (т. е. сторона A1A2 снова будет лежать на прямой /). Радиус окружности, описанной вокруг данного многоугольника, равен а.
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 381 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed